En mathématiques, une fonction est une règle qui relie chaque élément d'un ensemble, appelé domaine, à exactement un élément d'un autre ensemble, appelé plage. Sur unX-ouiaxe, le domaine est représenté sur l'axeX-axe (axe horizontal) et le domaine sur leoui-axe (axe vertical). Une règle qui relie un élément du domaine à plusieurs éléments de la plage n'est pas une fonction. Cette exigence signifie que, si vous tracez une fonction graphique, vous ne pouvez pas trouver une ligne verticale qui traverse le graphique à plus d'un endroit.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Une relation n'est une fonction que si elle relie chaque élément de son domaine à un seul élément de la plage. Lorsque vous tracez le graphique d'une fonction, une ligne verticale la coupe en un seul point.
Représentation mathématique
Les mathématiciens représentent généralement les fonctions par les lettres "F(X)", bien que toutes les autres lettres fonctionnent tout aussi bien. Vous lisez les lettres comme "FdeX." Si vous choisissez de représenter la fonction comme
f (x) = 2x \\ \,\\ g (y) = y^2 + 2y + 1 \\ \,\\ p (m) = \frac{1}{\sqrt{m - 3}}
Détermination du domaine
L'ensemble des nombres pour lesquels la fonction "fonctionne" est le domaine. Il peut s'agir de tous les nombres ou d'un ensemble spécifique de nombres. Le domaine peut également être composé de tous les nombres sauf un ou deux pour lesquels la fonction ne fonctionne pas. Par exemple, le domaine de la fonction
f (x) = \frac{1}{2-x}
est uniquement composé de nombres sauf 2, car lorsque vous en saisissez deux, le dénominateur est 0 et le résultat n'est pas défini. Le domaine pour
\frac{1}{4 - x^2}
d'autre part, est tous les nombres sauf +2 et -2 car le carré de ces deux nombres est 4.
Vous pouvez également identifier le domaine d'une fonction en regardant son graphique. En partant de l'extrême gauche et en vous déplaçant vers la droite, tracez des lignes verticales à travers leX-axe. Le domaine est l'ensemble des valeurs deXpour laquelle la droite coupe le graphique.
Quand une relation n'est-elle pas une fonction ?
Par définition, une fonction relie chaque élément du domaine à un seul élément de la plage. Cela signifie que chaque ligne verticale que vous tracez à travers leX-axis peut couper la fonction en un seul point. Cela fonctionne pour toutes les équations linéaires et les équations de puissance plus élevée dans lesquelles seul le terme x est élevé à un exposant. Cela ne fonctionne pas toujours pour les équations dans lesquelles à la fois leXetouitermes sont élevés à une puissance. Par example,X2 + oui2 = une2 définit un cercle. Une ligne verticale peut couper un cercle en plusieurs points, cette équation n'est donc pas une fonction.
En général, une relationF(X) = ouin'est une fonction que si, pour chaque valeur deXque vous y branchez, vous n'obtenez qu'une seule valeur pouroui. Parfois, la seule façon de savoir si une relation donnée est une fonction ou non est d'essayer différentes valeurs pour x pour voir si elles donnent des valeurs uniques pouroui.
Exemples:Les équations suivantes définissent-elles des fonctions ?
y = 2x +1
C'est l'équation d'une droite de pente 2 etoui-intercepter 1, donc ilESTune fonction.
y^2 = x + 1
LaisserX= 3. La valeur de y peut alors être ±2, donc ceciN'EST PASune fonction.
y^3 = x^2
Quelle que soit la valeur que nous fixons pourX, nous n'obtiendrons qu'une seule valeur pouroui, donc çaESTune fonction.
y^2 = x^2
Parce queoui = ±√X2, cetteN'EST PASune fonction.