Polynômes: additionner, soustraire, diviser et multiplier

Tous les étudiants en mathématiques et de nombreux étudiants en sciences rencontrent des polynômes à un moment donné de leurs études, mais heureusement, ils sont faciles à gérer une fois que vous avez appris les bases. Les principales opérations que vous devrez effectuer avec les expressions polynomiales sont l'addition, la soustraction, la multiplication et diviser, et bien que la division puisse être complexe, la plupart du temps, vous serez capable de gérer les bases avec facilité.

Polynômes: définition et exemples

Polynôme décrit une expression algébrique avec un ou plusieurs termes impliquant une variable (ou plusieurs), avec des exposants et éventuellement des constantes. Ils ne peuvent pas inclure de division par une variable, ne peuvent pas avoir d'exposants négatifs ou fractionnaires et doivent avoir un nombre fini de termes.

Cet exemple montre un polynôme :

x^3 + 2 x^ 2 - 9 x - 4

Et cela en montre un autre :

xy^2 - 3 x + y

Il existe de nombreuses façons de classer les polynômes, y compris par degré (la somme des exposants sur le terme de puissance la plus élevée, par exemple 3 dans le premier exemple) et par le nombre de termes qu'ils contiennent, tels que les monômes (un terme), les binômes (deux termes) et les trinômes (trois termes).

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Ajouter et soustraire des polynômes

L'ajout et la soustraction de polynômes dépendent de la combinaison de termes « similaires ». Un terme similaire est un terme avec les mêmes variables et exposants qu'un autre, mais le nombre par lequel ils sont multipliés (le coefficient) peut être différent. Par example,X2 et 4X2 sont comme des termes car ils ont la même variable et le même exposant, et 2xy4 et 6xy4 sont aussi des termes similaires. cependant,X2, ​X3, ​X2oui2 etoui2 ne sont pas comme des termes, car chacun contient différentes combinaisons de variables et d'exposants.

Ajoutez des polynômes en combinant des termes similaires de la même manière que vous le feriez avec d'autres termes algébriques. Par exemple, regardez le problème :

(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)

Collectez les termes similaires pour obtenir :

(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y

Et ensuite évaluer en additionnant simplement les coefficients et en les combinant en un seul terme :

10 x^3 + 5 x + y

Notez que vous ne pouvez rien faire avecouicar il n'a pas de terme similaire.

La soustraction fonctionne de la même manière :

(4 x^4 + 3 y^2 + 6 y ) - (2 x^4 + 2 y^2 + y)

Tout d'abord, notez que tous les termes dans le crochet de droite sont soustraits de ceux dans le crochet de gauche, alors écrivez-le comme:

4 x^4 + 3 y^2 + 6 y - 2 x^4 - 2 y^2- y

Combinez des termes similaires et évaluez pour obtenir :

(4 x^4 - 2 x^4) + (3 y^2 - 2 y^2) + (6 y - y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y

Pour un problème comme celui-ci :

(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2)

Notez que le signe moins est appliqué à l'ensemble de l'expression entre parenthèse droite, donc les deux signes négatifs avant 3X2 devenir un signe d'addition :

(4 xy + x^2) - (6 xy - 3 x^2) = 4 xy + x^2 - 6 xy + 3 x^2

Calculez ensuite comme précédemment.

Multiplication d'expressions polynomiales

Multipliez des expressions polynomiales en utilisant la propriété distributive de la multiplication. En bref, multipliez chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second. Regardez cet exemple simple :

4 x × (2 x^2 + y)

Vous résolvez cela en utilisant la propriété distributive, donc :

\begin{aligned} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \\ &= 8 x^3 + 4 xy \end{aligned}

Abordez des problèmes plus complexes de la même manière :

\begin{aligné} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \\ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \\ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2) + (3 x × 2 x ) \\ &= 10 y^3x^2 + 4 y ^3x + 15x^3 + 6x^2 \end{aligné}

Ces problèmes peuvent devenir compliqués pour des groupes plus importants, mais le processus de base est toujours le même.

Division d'expressions polynomiales

La division d'expressions polynomiales prend plus de temps, mais vous pouvez l'aborder par étapes. Regardez l'expression :

\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2}

D'abord, écrivez l'expression comme une division longue, avec le diviseur à gauche et le dividende à droite :

x + 2 )\overline{x^2 - 3 x - 10}

Divisez le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur et placez le résultat sur la ligne au-dessus de la division. Dans ce cas,X2 ÷ ​X​ = ​X, donc:

\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \end{aligned}

Multipliez ce résultat par le diviseur entier, donc dans ce cas, (X​ + 2) × ​X​ = ​X2 + 2 ​X. Mettez ce résultat en dessous de la division :

\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \end{aligned}

Soustrayez le résultat sur la nouvelle ligne des termes directement au-dessus (notez que techniquement, vous changez le signe, donc si vous aviez un résultat négatif, vous l'ajouteriez à la place), et placez-le sur une ligne en dessous. Déplacez également le dernier terme du dividende d'origine vers le bas.

\begin{aligned} &x \\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}

Répétez maintenant le processus avec le diviseur et le nouveau polynôme sur la ligne du bas. On divise donc le premier terme du diviseur (X) par le premier terme du dividende (−5X) et mettez ceci au-dessus :

\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \end{aligned}

Multipliez ce résultat (−5X​ ÷ ​X= -5) par le diviseur d'origine (donc (X​ + 2) × −5 = −5 ​X−10) et mettez le résultat sur une nouvelle ligne du bas :

\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \end{aligné}

Soustrayez ensuite la ligne du bas de la suivante (donc dans ce cas, changez le signe et ajoutez) et placez le résultat sur une nouvelle ligne du bas :

\begin{aligned} &x -5\\ x + 2 )&\overline{x^2 - 3 x - 10} \\ &x^2 + 2 x \\ &0 - 5 x - 10 \\ &-5 x - 10 \\ & 0 \quad 0 \end{aligné}

Comme il y a maintenant une rangée de zéros en bas, le processus est terminé. S'il restait des termes non nuls, vous répéteriez le processus à nouveau. Le résultat est sur la ligne du haut, donc :

\frac{x^2 - 3 x - 10}{x + 2} = x - 5

Cette division et quelques autres peuvent être résolues plus simplement si vous pouvez factoriser le polynôme dans le dividende.

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