Lorsque vous avez découvert les systèmes d'équations pour la première fois, vous avez probablement appris à résoudre un système d'équations à deux variables à l'aide d'un graphique. Mais résoudre des équations à trois variables ou plus nécessite un nouvel ensemble d'astuces, à savoir les techniques d'élimination ou de substitution.
Choisissez deux des équations et combinez-les pour éliminer l'une des variables. Dans cet exemple, l'ajout de l'Équation #1 et de l'Équation #2 annulera leouivariable, vous laissant avec la nouvelle équation suivante :
Nouvelle équation n°1 :
7x - 2z = 12
Répétez l'étape 1, cette fois en combinant undifférentensemble de deux équations mais en éliminant lemêmevariable. Considérez l'équation n°2 et l'équation n°3 :
Équation #2 :
5x - y - 5z = 2
Équation #3 :
x + 2y - z = 7
Dans ce cas leouivariable ne s'annule pas immédiatement. Donc, avant d'ajouter les deux équations ensemble, multipliez les deux côtés de l'équation #2 par 2. Cela vous donne :
Équation #2 (modifiée) :
10x - 2y - 10z = 4
Équation #3 :
x + 2y - z = 7
Maintenant le 2ouiles termes s'annuleront, vous donnant une autre nouvelle équation :
Nouvelle équation n°2 :
11x - 11z = 11
Combinez les deux nouvelles équations que vous avez créées, dans le but d'éliminer encore une autre variable :
Nouvelle équation n°1 :
7x - 2z = 12
Nouvelle équation n°2 :
11x - 11z = 11
Aucune variable ne s'annule pour l'instant, vous devrez donc modifier les deux équations. Multipliez les deux côtés de la première nouvelle équation par 11, et multipliez les deux côtés de la deuxième nouvelle équation par -2. Cela vous donne :
Nouvelle équation n° 1 (modifiée) :
77x – 22z = 132
Nouvelle équation n°2 (modifiée) :
-22x + 22z = -22
Additionnez les deux équations et simplifiez, ce qui vous donne :
x = 2
Maintenant que vous connaissez la valeur deX, vous pouvez le remplacer dans les équations d'origine. Cela vous donne :
Équation substituée n°1 :
y + 3z = 6
Équation substituée n°2 :
-y - 5z = -8
Équation substituée n°3 :
2y - z = 5
Choisissez deux des nouvelles équations et combinez-les pour éliminer une autre des variables. Dans ce cas, l'ajout de l'équation substituée #1 et de l'équation substituée #2 rendouiannuler gentiment. Après avoir simplifié, vous aurez :
z = 1
Remplacez la valeur de l'étape 5 dans l'une des équations substituées, puis résolvez la variable restante,y.Considérez l'équation substituée n°3 :
Équation substituée n°3 :
2y - z = 5
Substituer dans la valeur dezvous donne 2oui– 1 = 5, et en résolvant pourouivous amène à :
y = 3
La solution de ce système d'équations est doncX = 2, oui= 3 etz = 1.
Notez que les deux méthodes de résolution du système d'équations vous ont amené à la même solution: (X = 2, oui = 3, z= 1). Vérifiez votre travail en substituant cette valeur dans chacune des trois équations.
