En mathématiques, une fonction est un processus que vous appliquez à une variable indépendanteXpour obtenir la variable dépendanteoui. Si vous le considérez comme « aller de » votreXarriver à votreoui, une fonction inverse va dans le sens inverse, du résultat à la valeur d'origine. Dans un sens, une fonction inverse est l'opposé de l'original, « annulant » le processus.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
L'inverse d'une fonction mathématique inverse les rôles deouietXdans la fonction d'origine.
Fonctions et inverses
Les mathématiciens définissent une fonction comme un processus ou une règle qui génère les paires ordonnées d'un ensemble. Vous pouvez considérer le premier membre de la paire comme leXde la fonction, et le deuxième membre en tant queoui. Dans une vraie fonction, la première valeur n'a qu'une seule valeur de solution qui l'accompagne. Alors chacunXla valeur n'a qu'un correspondantouivaleur. Donc, l'équation de la ligne horizontale,oui= 1 est une fonction, mais la ligne verticale,X= 1 ne l'est pas.
Tracer un graphique
Le graphique d'une fonction et son inverse sont des reflets l'un de l'autre, avec une ligne représentantoui = Xagissant comme le "miroir". Pour prendre un exemple, le graphique de la fonction logarithme népérien, ln(X), commence à l'infini négatif auouiaxe et juste à droite de zéro sur leXaxe. De là, il traverse leXaxe au point, (1,0) et a une courbe légèrement ascendante sur leXaxe. Son inverse, la fonction de l'exposant naturel exp(X), a laX-axe comme son asymptote, commençant à l'infini négatif sur leXaxe, juste au-dessus. Il traverse leouiaxe à (0,1) et se courbe fortement vers le haut. Dessinez les deux fonctions sur un graphique, puis tracez la ligneoui = X, et vous verrez que exp(X) et ln(X) se reflètent.
Sinus et cosinus
Bien que les fonctions sinus et cosinus soient liées, l'une n'est pas l'inverse de l'autre. Les fonctions sinus et cosinus produisent des résultats graphiques similaires, bien que le cosinus "avance" le sinus de 90 degrés. De plus, le cosinus est la dérivée du sinus. Cependant, l'inverse de la fonction sinus est l'arcsinus, et l'inverse du cosinus est l'arccosinus.
Trouver une fonction inverse
Il est relativement facile de trouver l'inverse de nombreuses fonctions :oui" et "X” dans l'équation, puis résoudre pouroui. Par exemple, considérons l'équation
y = 2x + 4
Échanger y pourXdonne
x = 2y + 4
Soustrayez 4 des deux côtés pour obtenir
x - 4 = 2y
puis divisez les deux côtés par 2 pour obtenir
\frac{x}{2} - 2 = y
qui est la fonction inverse.
Non-fonctions inverses
Tous les inverses de fonctions ne sont pas aussi des fonctions. Rappelons que la définition des fonctions dit que chaqueXn'en a qu'unouivaleur. Bien que l'arc sinus soit l'inverse de la fonction sinus, l'arc sinus n'est pas techniquement une fonction, carXles valeurs ont une infinité de correspondantsouivaleurs. C'est aussi vrai avec
y = x^2 \text{ et } y = \sqrt{x}
la première est une fonction, et la seconde est son inverse, mais la racine carrée donne deux correspondantsouivaleurs, positives et négatives, ce qui en fait pas une vraie fonction.