Les équations quadratiques sont des formules qui peuvent être écrites sous la forme Ax^2 + Bx + C = 0. Parfois, une équation quadratique peut être simplifiée en factorisant ou en exprimant l'équation comme un produit de termes séparés. Cela peut rendre l'équation plus facile à résoudre. Les facteurs peuvent parfois être difficiles à identifier, mais il existe des astuces qui peuvent faciliter le processus.
Réduire l'équation par le plus grand facteur commun
Examinez l'équation quadratique pour déterminer s'il existe un nombre et/ou une variable qui peut diviser chaque terme de l'équation. Par exemple, considérons l'équation 2x^2 + 10x + 8 = 0. Le plus grand nombre qui peut se diviser uniformément en chaque terme de l'équation est 2, donc 2 est le plus grand facteur commun (GCF).
Divisez chaque terme de l'équation par le GCF et multipliez l'équation entière par le GCF. Dans l'exemple d'équation 2x^2 + 10x + 8 = 0, cela donnerait 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2).
Simplifiez l'expression en complétant la division dans chaque terme. Il ne devrait pas y avoir de fractions dans l'équation finale. Dans l'exemple, cela donnerait 2(x^2 + 5x + 4) = 0.
Recherchez la différence de carrés (si B = 0)
Examinez l'équation quadratique pour voir si elle est sous la forme Ax^2 + 0x – C = 0, où A = y^2 et C = z^2. Si tel est le cas, l'équation quadratique exprime la différence de deux carrés. Par exemple, dans l'équation 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 et C = 9 = 3^2, donc y = 2 et z = 3.
Factoriser l'équation sous la forme (yx + z)(yx – z) = 0. Dans l'exemple d'équation, y = 2 et z = 3; donc l'équation quadratique factorisée est (2x + 3)(2x – 3) = 0. Ce sera toujours la forme factorisée d'une équation quadratique qui est la différence des carrés.
Rechercher des carrés parfaits
Examinez l'équation quadratique pour voir si c'est un carré parfait. Si l'équation quadratique est un carré parfait, elle peut être écrite sous la forme y^2 + 2yz + z^2, telle que l'équation 4x^2 + 12x + 9 = 0, qui peut être réécrite comme (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2. Dans ce cas, y = 2x et z = 3.
Vérifiez si le terme 2yz est positif. Si le terme est positif, les facteurs de l'équation quadratique du carré parfait sont toujours (y + z) (y + z). Par exemple, dans l'équation ci-dessus, 12x est positif, donc les facteurs sont (2x + 3)(2x + 3) = 0.
Vérifiez si le terme 2yz est négatif. Si le terme est négatif, les facteurs sont toujours (y – z)(y – z). Par exemple, si l'équation ci-dessus avait le terme -12x au lieu de 12x, les facteurs seraient (2x – 3)(2x – 3) = 0.
Méthode de multiplication FOIL inversée (si A = 1)
Définissez la forme factorisée de l'équation quadratique en écrivant (vx + w)(yx + z) = 0. Rappelez les règles de la multiplication FOIL (First, Outside, Inside, Last). Comme le premier terme de l'équation quadratique est un Ax^2, les deux facteurs de l'équation doivent inclure un x.
Résoudre v et y en considérant tous les facteurs de A dans l'équation quadratique. Si A = 1, alors v et y vaudront toujours 1. Dans l'exemple d'équation x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1, donc v et y peuvent être résolus dans l'équation factorisée pour obtenir (1x + w)(1x + z) = 0.
Déterminez si w et z sont positifs ou négatifs. Les règles suivantes s'appliquent: C = positif et B = positif; les deux facteurs ont un signe + C = positif et B = négatif; les deux facteurs ont un signe – C = négatif et B = positif; le facteur ayant la plus grande valeur a un signe + C = négatif et B = négatif; le facteur avec la plus grande valeur a un signe - Dans l'exemple d'équation de l'étape 2, B = -9 et C = +8, donc les deux facteurs de l'équation auront des signes -, et l'équation factorisée peut être écrite comme (1x - w) (1x - z) = 0.
Faites une liste de tous les facteurs de C afin de trouver les valeurs de w et z. Dans l'exemple ci-dessus, C = 8, donc les facteurs sont 1 et 8, 2 et 4, -1 et -8, et -2 et -4. Les facteurs doivent totaliser B, qui est de -9 dans l'exemple d'équation, donc w = -1 et z = -8 (ou vice versa) et notre équation est entièrement factorisée comme (1x – 1)(1x – 8) = 0.
Méthode de la boîte (si A n'est pas = 1)
Réduisez l'équation à sa forme la plus simple, en utilisant la méthode du plus grand facteur commun énumérée ci-dessus. Par exemple, dans l'équation 9x^2 + 27x – 90 = 0, le GCF est 9, donc l'équation se simplifie en 9(x^2 + 3x – 10).
Dessinez une boîte et divisez-la en un tableau avec deux lignes et deux colonnes. Mettez Ax^2 de l'équation simplifiée dans la ligne 1, colonne 1 et C de l'équation simplifiée dans la ligne 2, colonne 2.
Multipliez A par C et trouvez tous les facteurs du produit. Dans l'exemple ci-dessus, A = 1 et C = -10, le produit est donc (1)(-10) = -10. Les facteurs de -10 sont -1 et 10, -2 et 5, 1 et -10, et 2 et -5.
Identifiez lequel des facteurs du produit AC s'additionne à B. Dans l'exemple, B = 3. Les facteurs de -10 qui totalisent 3 sont -2 et 5.
Multipliez chacun des facteurs identifiés par x. Dans l'exemple ci-dessus, cela donnerait -2x et 5x. Mettez ces deux nouveaux termes dans les deux espaces vides du graphique, de sorte que le tableau ressemble à ceci :
x^2 | 5x
-2x | -dix
Trouvez le GCF pour chaque ligne et colonne de la boîte. Dans l'exemple, le CGF de la ligne du haut est x et celui de la ligne du bas est de -2. Le GCF pour la première colonne est x, et pour la deuxième colonne est 5.
Écrivez l'équation factorisée sous la forme (w + v) (y + z) en utilisant les facteurs identifiés dans les lignes du graphique pour w et v, et les facteurs identifiés dans les colonnes du graphique pour y et z. Si l'équation a été simplifiée à l'étape 1, n'oubliez pas d'inclure le GCF de l'équation dans l'expression factorisée. Dans le cas de l'exemple, l'équation factorisée sera 9(x – 2)(x + 5) = 0.
Conseils
Assurez-vous que l'équation est sous forme quadratique standard avant de commencer l'une des méthodes décrites.
Il n'est pas toujours facile d'identifier un carré parfait ou une différence de carrés. Si vous pouvez voir rapidement que l'équation quadratique que vous essayez de factoriser est sous l'une de ces formes, alors cela peut être d'une grande aide. Cependant, ne passez pas beaucoup de temps à essayer de comprendre cela, car les autres méthodes pourraient être plus rapides.
Vérifiez toujours votre travail en multipliant les facteurs à l'aide de la méthode FOIL. Les facteurs doivent toujours se multiplier jusqu'à l'équation quadratique d'origine.