Que sont les vrais nombres ?

Les nombres réels sont tous les nombres sur une droite numérique s'étendant de l'infini négatif à zéro jusqu'à l'infini positif. Cette construction de l'ensemble des nombres réels n'est pas arbitraire mais plutôt le résultat d'une évolution par rapport aux nombres naturels utilisés pour le comptage. Le système des nombres naturels présente plusieurs incohérences et, à mesure que les calculs devenaient plus complexes, le système des nombres s'est étendu pour répondre à ses limites. Avec des nombres réels, les calculs donnent des résultats cohérents, et il existe peu d'exceptions ou de limitations telles qu'elles étaient présentes avec les versions les plus primitives du système numérique.

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

L'ensemble des nombres réels se compose de tous les nombres sur une droite numérique. Cela inclut les nombres naturels, les nombres entiers, les nombres entiers, les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Il n'inclut pas les nombres imaginaires ou les nombres complexes.

La fermeture est la propriété d'un ensemble de nombres, ce qui signifie que si les calculs autorisés sont effectués sur des nombres membres de l'ensemble, les réponses seront également des nombres membres de l'ensemble. L'ensemble est dit fermé.

Les nombres naturels sont les nombres de comptage, 1, 2, 3..., et l'ensemble des nombres naturels n'est pas fermé. Comme les nombres naturels étaient utilisés dans le commerce, deux problèmes se sont immédiatement posés. Alors que les nombres naturels comptaient des objets réels, par exemple des vaches, si un fermier avait cinq vaches et vendait cinq vaches, il n'y avait pas de nombre naturel pour le résultat. Les premiers systèmes numériques ont très rapidement développé un terme pour zéro pour résoudre ce problème. Le résultat était le système de nombres entiers, qui est les nombres naturels plus zéro.

Le deuxième problème était également associé à la soustraction. Tant que les nombres comptaient des objets réels tels que des vaches, le fermier ne pouvait pas vendre plus de vaches qu'il n'en avait. Mais lorsque les nombres sont devenus abstraits, soustraire les plus grands nombres des plus petits a donné des réponses en dehors du système des nombres entiers. En conséquence, les nombres entiers, qui sont les nombres entiers plus les nombres naturels négatifs ont été introduits. Le système de numération comprenait désormais une ligne numérique complète, mais uniquement avec des nombres entiers.

Les calculs dans un système de numération fermé devraient donner des réponses à l'intérieur du système de numération pour opérations telles que l'addition et la multiplication mais aussi pour leurs opérations inverses, soustraction et division. Le système d'entiers est fermé pour l'addition, la soustraction et la multiplication mais pas pour la division. Si un entier est divisé par un autre entier, le résultat n'est pas toujours un entier.

Diviser un petit entier par un plus grand donne une fraction. De telles fractions ont été ajoutées au système numérique en tant que nombres rationnels. Les nombres rationnels sont définis comme tout nombre pouvant être exprimé sous la forme d'un rapport de deux nombres entiers. Tout nombre décimal arbitraire peut être exprimé comme un nombre rationnel. Par exemple, 2,864 équivaut à 2864/1000 et 0,89632 équivaut à 89632/100 000. La ligne numérique semblait maintenant être complète.

Il y a des nombres sur la droite numérique qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction d'entiers. L'un est le rapport des côtés d'un triangle rectangle à l'hypoténuse. Si deux des côtés d'un triangle rectangle sont 1 et 1, l'hypoténuse est la racine carrée de 2. La racine carrée de deux est une décimale infinie qui ne se répète pas. De tels nombres sont appelés irrationnels et ils incluent tous les nombres réels qui ne sont pas rationnels. Avec cette définition, la droite numérique de tous les nombres réels est complète car tout autre nombre réel qui n'est pas rationnel est inclus dans la définition d'irrationnel.

Bien que la droite des nombres réels s'étende de l'infini négatif à l'infini positif, l'infini lui-même n'est pas un nombre réel mais plutôt un concept du système numérique qui le définit comme étant une quantité plus grande que n'importe quel numéro. Mathématiquement, l'infini est la réponse à 1/x lorsque x atteint zéro, mais la division par zéro n'est pas définie. Si l'infini était un nombre, cela conduirait à des contradictions car l'infini ne suit pas les lois de l'arithmétique. Par exemple, l'infini plus 1 est toujours l'infini.

L'ensemble des nombres réels est fermé pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division sauf pour la division par zéro, qui n'est pas définie. L'ensemble n'est pas fermé pour au moins une autre opération.

Les règles de multiplication dans l'ensemble des nombres réels précisent que la multiplication d'un négatif et d'un nombre positif donne un nombre négatif tandis que la multiplication de nombres positifs ou négatifs donne un nombre positif réponses. Cela signifie que le cas particulier de la multiplication d'un nombre par lui-même donne un nombre positif pour les nombres positifs et négatifs. L'inverse de ce cas particulier est la racine carrée d'un nombre positif, donnant à la fois une réponse positive et une réponse négative. Pour la racine carrée d'un nombre négatif, il n'y a pas de réponse dans l'ensemble des nombres réels.

Le concept de l'ensemble des nombres imaginaires aborde la question des racines carrées négatives dans les nombres réels. La racine carrée de moins 1 est définie comme i et tous les nombres imaginaires sont des multiples de i. Pour compléter la théorie des nombres, l'ensemble des nombres complexes est défini comme comprenant tous les nombres réels et tous les nombres imaginaires. Les nombres réels peuvent continuer à être visualisés sur une droite numérique horizontale tandis que les nombres imaginaires sont une droite numérique verticale, les deux se coupant à zéro. Les nombres complexes sont des points dans le plan des deux droites numériques, chacune avec une composante réelle et une composante imaginaire.