Une équation quadratique est une équation qui contient une seule variable et dans laquelle la variable est au carré. La forme standard pour ce type d'équation, qui produit toujours une parabole lorsqu'elle est représentée graphiquement, esthache2 + bx + c= 0, oùune, betcsont des constantes. Trouver des solutions n'est pas aussi simple que pour une équation linéaire, et une partie de la raison est que, à cause du terme au carré, il y a toujours deux solutions. Vous pouvez utiliser l'une des trois méthodes pour résoudre une équation quadratique. Vous pouvez factoriser les termes, ce qui fonctionne le mieux avec des équations plus simples, ou vous pouvez compléter le carré. La troisième méthode consiste à utiliser la formule quadratique, qui est une solution généralisée à chaque équation quadratique.
La formule quadratique
Pour une équation quadratique générale de la formehache2 + bx + c= 0, les solutions sont données par cette formule :
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Notez que le signe ± à l'intérieur des crochets signifie qu'il y a toujours deux solutions. Une des solutions utilise
\frac{−b +\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
et l'autre solution utilise
\frac{−b -\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Utiliser la formule quadratique
Avant de pouvoir utiliser la formule quadratique, vous devez vous assurer que l'équation est sous forme standard. Ce n'est peut-être pas le cas. QuelqueX2 les termes peuvent être des deux côtés de l'équation, vous devrez donc les rassembler du côté droit. Faites de même avec tous les termes et constantes x.
Exemple: Trouver les solutions de l'équation
3x^2 - 12 = 2x (x -1)
Développez les parenthèses :
3x^2 - 12 = 2x^2 - 2x
Soustraire 2X2 et des deux côtés. Ajouter 2Xaux deux côtés
3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 2x^2 -2x^2 -2x + 2x \\ 3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 0 \\ x^2 - 2x -12 = 0
Cette équation est sous forme standardhache2 + bx + c= 0 oùune = 1, b= -2 etc = 12
La formule quadratique est
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Depuisune = 1, b= -2 etc= −12, cela devient
x = \frac{−(-2) ±\sqrt{(-2)^2 − 4×1×(-12)} }{2×1}
x = \frac{2 ±\sqrt{(4+ 48} }{2} \\ \,\\ x = \frac{2 ±\sqrt{52} }{2} \\ \,\\ x = \ frac{2 ±7.21 }{2} \\ \,\\ x = \frac{9.21}{2} \text{ et } x = \frac{-5.21}{2} \\ \,\\ x = 4.605 \text{ et } x = −2.605
Deux autres façons de résoudre des équations quadratiques
Vous pouvez résoudre des équations quadratiques en factorisant. Pour ce faire, vous devinez plus ou moins une paire de nombres qui, une fois additionnés, donnent la constantebet, multiplié ensemble, donne la constantec. Cette méthode peut être difficile lorsqu'il s'agit de fractions. et ne fonctionnerait pas bien pour l'exemple ci-dessus.
L'autre méthode consiste à compléter le carré. Si vous avez une équation sous forme standard,hache2 + bx + c= 0, mettrecà droite et ajoutez le terme (b/2)2 aux deux côtés. Cela vous permet d'exprimer le côté gauche comme (X + ré)2, oùréest une constante. Vous pouvez alors prendre la racine carrée des deux côtés et résoudre pourX. Encore une fois, l'équation de l'exemple ci-dessus est plus facile à résoudre en utilisant la formule quadratique.