Apprendre à gérer les exposants fait partie intégrante de tout enseignement des mathématiques, mais heureusement, les règles pour les multiplier et les diviser correspondent aux règles pour les exposants non fractionnaires. La première étape pour comprendre comment traiter les exposants fractionnaires est d'obtenir un aperçu de ce qu'ils sont exactement, et ensuite vous pouvez regarder les façons dont vous pouvez combiner les exposants lorsqu'ils sont multipliés ou divisés et qu'ils ont le même base. En bref, vous additionnez les exposants lors de la multiplication et soustrayez l'un de l'autre lors de la division, à condition qu'ils aient la même base.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Multipliez les termes par des exposants en utilisant la règle générale :
Xune + Xb = X(une + b)
Et divisez les termes avec les exposants en utilisant la règle :
Xune ÷ Xb = X(une – b)
Ces règles fonctionnent avec toute expression à la place deuneetb, voire des fractions.
Que sont les exposants fractionnaires ?
Les exposants fractionnaires fournissent un moyen compact et utile d'exprimer des racines carrées, cubiques et supérieures. Le dénominateur sur l'exposant vous indique quelle racine du nombre « de base » le terme représente. Dans un terme commeXune, tu appellesXle socle etunel'exposant. Donc un exposant fractionnaire vous dit :
x^{1/2} = \sqrt{x}
Le dénominateur de deux sur l'exposant vous indique que vous prenez la racine carrée deXdans cette expression. La même règle de base s'applique aux racines supérieures :
x^{1/3} = \sqrt[3]{x}
Et
x^{1/4} = \sqrt[4]{x}
Ce modèle continue. Pour un exemple concret :
9^{1/2} = \sqrt{9}=3
Et
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}=2
Règles des exposants de fractions: multiplier des exposants fractionnaires avec la même base
Multipliez les termes avec des exposants fractionnaires (à condition qu'ils aient la même base) en additionnant les exposants. Par example:
x^{1/3} × x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x^1 = x
DepuisX1/3 signifie « la racine cubique deX”, il est parfaitement logique que cela multiplié par lui-même deux fois donne le résultatX. Vous pouvez également rencontrer des exemples commeX1/3 × X1/3, mais vous les traitez exactement de la même manière :
x^{1/3} × x^{1/3} = x^{( 1/3 + 1/3)} \\ = x^{2/3}
Le fait que l'expression à la fin soit toujours un exposant fractionnaire ne change rien au processus. Cela peut être simplifié si vous notez queX2/3 = (X1/3)2 = ∛X2. Avec une expression comme celle-ci, peu importe que vous preniez d'abord la racine ou le pouvoir. Cet exemple illustre comment les calculer :
8^{1/3} + 8^{1/3} = 8^{2/3} \\ = (\sqrt[3]{8})^2
Étant donné que la racine cubique de 8 est facile à calculer, procédez comme suit :
(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
Cela signifie donc :
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Vous pouvez également rencontrer des produits d'exposants fractionnaires avec des nombres différents dans les dénominateurs des fractions, et vous pouvez ajouter ces exposants de la même manière que vous ajouteriez d'autres fractions. Par example:
\begin{aligné} x^{1/4} × x^{1/2} &= x^{(1/4 + 1/2)} \\ &= x^{(1/4 + 2/4 )} \\ &= x^{3/4} \end{aligné}
Ce sont toutes des expressions spécifiques de la règle générale pour multiplier deux expressions avec des exposants :
x^a + x^b = x^{(a + b)}
Règles des exposants fractionnaires: diviser des exposants fractionnaires avec la même base
Attaquez-vous aux divisions de deux nombres avec des exposants fractionnaires en soustrayant l'exposant que vous divisez (le diviseur) par celui que vous divisez (le dividende). Par example:
x^{1/2} ÷ x^{1/2} = x^{(1/2 - 1/2)} \\ = x^0 = 1
Cela a du sens, car tout nombre divisé par lui-même est égal à un, et cela correspond au résultat standard selon lequel tout nombre élevé à une puissance de 0 est égal à un. L'exemple suivant utilise des nombres comme bases et différents exposants :
\begin{aligné} 16^{1/2} ÷ 16^{1/4} &= 16^{(1/2 - 1/4)} \\ &= 16^{(2/4 - 1/4 )} \\ &= 16^{1/4} \\ &= 2 \end{aligné}
Ce que vous pouvez également voir si vous constatez que 161/2 = 4 et 161/4 = 2.
Comme pour la multiplication, vous pouvez également vous retrouver avec des exposants fractionnaires qui ont un nombre autre qu'un au numérateur, mais vous les traitez de la même manière.
Ceux-ci expriment simplement la règle générale pour diviser les exposants :
x^a ÷ x^b = x^{(a - b)}
Multiplier et diviser des exposants fractionnaires dans différentes bases
Si les bases des termes sont différentes, il n'y a pas de moyen facile de multiplier ou de diviser les exposants. Dans ces cas, calculez simplement la valeur des termes individuels, puis effectuez l'opération requise. La seule exception est si l'exposant est le même, auquel cas vous pouvez les multiplier ou les diviser comme suit :
x^4 × y^4 = (xy)^4 \\ x^4 ÷ y^4 = (x ÷ y)^4