Le produit de deux quantités scalaires est un scalaire, et le produit d'un scalaire avec un vecteur est un vecteur, mais qu'en est-il du produit de deux vecteurs? Est-ce un scalaire ou un autre vecteur? La réponse est, cela pourrait être l'un ou l'autre !
Il y a deux façons de prendre un produit vectoriel. L'une consiste à prendre leur produit scalaire, ce qui donne un scalaire, et l'autre consiste à prendre leur produit vectoriel, ce qui donne un autre vecteur. Le produit utilisé dépend du scénario particulier et de la quantité que vous essayez de trouver.
Le produit vectoriel de deux vecteurs donne un troisième vecteur qui pointe dans la direction perpendiculaire à la plan couvert par les deux vecteurs, et dont la grandeur dépend de la perpendicularité relative des deux vecteurs.
Définition du produit croisé des vecteurs
On définit d'abord le produit vectoriel des vecteurs unitairesje, jetk(vecteurs de magnitude 1 qui pointent dans lex-, y-etz-directions des composants du système de coordonnées cartésiennes standard) comme suit :
\bold{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\fois i} = \bold{j\fois j} = \bold{k\fois k} = 0
Notez que ces relations sont anti-commutatives, c'est-à-dire que si nous changeons l'ordre des vecteurs dont nous prenons le produit, cela inverse le signe du produit :
\bold{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}
Nous pouvons utiliser les définitions ci-dessus pour dériver la formule du produit vectoriel de deux vecteurs tridimensionnels. Tout d'abord, écrivez des vecteursuneetbcomme suit:
\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}
En multipliant les deux vecteurs, on obtient :
\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ gras{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ fois i} + a_zb_y\bold{k\fois j} + a_zb_z\bold{k\fois k}
Ensuite, en utilisant les relations vectorielles unitaires ci-dessus, cela se simplifie comme suit :
\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\times i} - a_zb_y\bold{j\times k}\\ = (a_xb_y - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\bold{k}
(Notez que les termes dont le produit croisé était 0, sont les termes qui forment le produit scalaire (également appelé produit scalaire) !Ce n'est pas une coïncidence.)
Autrement dit:
\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ où} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
L'amplitude du produit croisé peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore.
La formule du produit croisé peut également être exprimée comme le déterminant de la matrice suivante :
\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrice} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {matrice}\Bigg| \\ = \Big|\begin{matrice}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{matrice}\Big|\bold{i} -\Big|\begin{matrix}a_x & a_z\\b_x & b_z\end{matrix}\Big|\bold{j} + \Big|\begin {matrice} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matrice}\Big|\bold{k}
\text{Où le déterminant } \Big|\begin{matrice} a & b \\ c & d \end{matrice}\Big| = annonce - bc
Une autre formulation, souvent très pratique, du produit croisé est (voir la fin de cet article pour la dérivation):
\bold{a × b} = |\bold{a}| |\gras{b}| \sin (θ) \bold{n}
Où:
- |une| est la grandeur (longueur) du vecteurune
- |b| est la grandeur (longueur) du vecteurb
- est l'angle entre uneet b
- mest le vecteur unitaire perpendiculaire au plan parcouru par uneetb
Vecteurs perpendiculaires et règle de la main droite
Dans la description du produit vectoriel, il est indiqué que la direction du produit vectoriel est perpendiculaire au plan parcouru par le vecteuruneet vecteurb. Mais cela laisse deux possibilités: cela pourrait indiquerhors del'avion oudansle plan couvert par ces vecteurs. La réalité est que nous pouvons réellement choisir l'un ou l'autre tant que nous sommes cohérents. La direction privilégiée choisie par les mathématiciens et les scientifiques, cependant, est déterminée par quelque chose appelé lerègle de la main droite.
Pour déterminer la direction d'un produit vectoriel vectoriel à l'aide de la règle de la main droite, pointez l'index de votre main droite dans la direction du vecteuruneet votre majeur dans la direction du vecteurb. Votre pouce pointe alors dans la direction du vecteur de produit croisé.
Parfois, ces directions sont difficiles à représenter sur une feuille de papier plate, donc souvent les conventions suivantes sont faites :
Pour indiquer un vecteur qui entre dans la page, nous dessinons un cercle avec un X (pensez à cela comme représentant les plumes de la queue à l'extrémité de la flèche lorsque vous la regardez de derrière). Pour indiquer un vecteur qui va dans la direction opposée hors de la page, nous dessinons un cercle avec un point (pensez-y comme la pointe de la flèche pointant hors de la page).
•••n / A
Propriétés du produit croisé
Voici plusieurs propriétés du produit vectoriel vectoriel :
\#\texte 1. Si } \bold{a} \text{ et } \bold{b} \text{ sont parallèles, alors } \bold{a\times b} = 0
\#\texte{2. }\bold{a\fois b} = -\bold{b\fois a}
\#\texte{3. }\bold{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}
\#\texte{4. }(c\bold{a)\fois b} = c(\bold{a\fois b})
\#\texte{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}
\text{Où }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\begin{matrix} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{matrix }\Big|
Interprétation géométrique du produit croisé
Lorsque le produit vectoriel vectoriel est formulé en termes de sin (θ), sa grandeur peut être interprétée comme représentant l'aire du parallélogramme couvert par les deux vecteurs. C'est parce que poura × b, |b|sin (θ) = la hauteur du parallélogramme, comme indiqué, et |une| est la base.
•••Dana Chen | Sciences
La magnitude du produit triple vectoriela (b × c) peut à son tour être interprété comme le volume du parallélépipède enjambé par les vecteursune, betc. Ceci est dû au fait(b × c) donne un vecteur dont la magnitude est la surface couverte par le vecteurbet vecteurc, et dont la direction est perpendiculaire à cette zone. Prendre le produit scalaire du vecteuruneavec ce résultat, multiplie essentiellement la surface de base par la hauteur.
Exemples
Exemple 1:La force sur une particule de chargeqse déplaçant avec la vitessevdans le champ magnétiqueBest donné par:
\bold{F} = q\bold{v\fois B}
Supposons qu'un électron traverse un champ magnétique de 0,005 T à la vitesse 2×107 Mme. S'il passe perpendiculairement à travers le champ, alors la force qu'il ressentira est :
\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1.602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0.005 )\sin (90)\bold{n} =-1.602\times 10^{-14}\text{ N}\bold{n}
Cependant, si l'électron se déplace parallèlement au champ, alors θ = 0 et sin (0) = 0, ce qui rend la force 0.
Notez que pour l'électron traversant perpendiculairement le champ, cette force le fera se déplacer selon une trajectoire circulaire. Le rayon de ce chemin circulaire peut être trouvé en définissant la force magnétique égale à la force centripète et en résolvant le rayonr:
F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{cent}\\ \implies r = \frac{mv}{qB}
Pour l'exemple ci-dessus, en insérant les nombres, on obtient un rayon d'environ 0,0227 m.
Exemple 2 :La quantité physique de couple est également calculée à l'aide d'un produit vectoriel vectoriel. Si une forceFest appliqué à un objet à la positionrà partir du point de pivot, le coupleτautour du point pivot est donnée par :
\bold{\tau} = \bold{r\times F}
Considérons la situation dans laquelle une force de 7 N est appliquée à un angle à l'extrémité d'une tige de 0,75 dont l'autre extrémité est attachée à un pivot. L'angle entreretFest de 70 degrés, donc le couple peut être calculé :
\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0,75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4,93 \text{Nm }\bold{ n}
Le sens du couple,m, se trouve via la règle de la main droite. S'il est appliqué à l'image ci-dessus, cela donne une direction sortant de la page ou de l'écran. En général, un couple appliqué à un objet voudra faire tourner l'objet. Le vecteur de couple se situera toujours dans la même direction que l'axe de rotation.
En fait, une règle simplifiée de la main droite peut être utilisée dans cette situation: Utilisez votre main droite pour "saisir" l'axe de rotation dans de telle sorte que vos doigts s'enroulent dans la direction dans laquelle le couple associé voudra faire tourner l'objet. Votre pouce pointe alors dans la direction du vecteur de couple.
Dérivation de la formule du produit croisé
\text{Ici, nous allons montrer comment la formule du produit croisé } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\gras{b}| \sin (θ) \bold{n} \text{ peut être dérivé.}
Considérons deux vecteursuneetbavec angleθentre eux. Un triangle rectangle peut être formé en traçant une ligne à partir de la pointe du vecteuruneà un point de contact perpendiculaire sur le vecteurb.
En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient la relation suivante :
\Gros|\Gros(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Gros)\bold{b}\Gros|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\bold{a}|^2
\text{Où }\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ est la projection du vecteur } \bold {a} \text{ sur le vecteur } \bold{b}.
En simplifiant un peu l'expression, on obtient ceci :
\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ a}|^2
Ensuite, multipliez les deux membres de l'équation par |b|2 et déplacez le premier terme vers la droite pour obtenir :
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2
En travaillant avec le membre de droite, multipliez tout puis simplifiez :
|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = - (a_zb_z) (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2
En définissant le résultat égal au membre de gauche de l'équation précédente, nous obtenons la relation suivante :
|\bold{a\fois b}| = |\bold{a}||\bold{b}||\sin(\theta)|
Cela nous montre que les grandeurs sont les mêmes dans la formule, donc la dernière chose à faire pour prouver la formule est de montrer que les directions sont également les mêmes. Cela peut être fait simplement en prenant les produits scalaires deuneaveca × betbaveca × bet montrant qu'ils sont 0, ce qui implique que la direction dea × b est perpendiculaire aux deux.