Résoudre les mystères de l'électromagnétisme a été l'une des plus grandes réalisations de la physique à ce jour, et les leçons apprises sont pleinement encapsulées dans les équations de Maxwell.
James Clerk Maxwell donne son nom à ces quatre équations élégantes, mais elles sont l'aboutissement de décennies de travail de nombreux physiciens, dont Michael Faraday, Andre-Marie Ampere et Carl Friedrich Gauss – qui donnent leurs noms à trois des quatre équations – et de nombreux autres. Alors que Maxwell lui-même n'a ajouté qu'un terme à l'une des quatre équations, il a eu la prévoyance et la compréhension de rassembler le meilleur du travail qui a été fait sur le sujet et les présenter d'une manière encore utilisée par physiciens aujourd'hui.
Pendant de très nombreuses années, les physiciens ont cru que l'électricité et le magnétisme étaient des forces distinctes et des phénomènes distincts. Mais grâce au travail expérimental de gens comme Faraday, il est devenu de plus en plus clair qu'ils étaient en fait les deux côtés de la même phénomène, et les équations de Maxwell présentent cette image unifiée qui est toujours aussi valable aujourd'hui qu'elle l'était au 19e siècle. Si vous envisagez d'étudier la physique à des niveaux supérieurs, vous devez absolument connaître les équations de Maxwell et savoir comment les utiliser.
Les équations de Maxwell
Les équations de Maxwell sont les suivantes, à la fois sous forme différentielle et sous forme intégrale. (Notez que si la connaissance des équations différentielles est utile ici, une compréhension conceptuelle est possible même sans elle.)
Loi de Gauss pour l'électricité
Forme différentielle :
\bm{∇∙E} = \frac{ρ}{ε_0}
Forme intégrale :
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Pas de loi du monopole / loi de Gauss pour le magnétisme
Forme différentielle :
\bm{∇∙B} = 0
Forme intégrale :
\int \bm{B } d\bm{A} = 0
La loi d'induction de Faraday
Forme différentielle :
\bm{∇ × E} = − \frac{∂\bm{B}}{∂t}
Forme intégrale :
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ t}
Loi d'Ampère-Maxwell / Loi d'Ampère
Forme différentielle :
\bm{∇ × B} = \frac{J}{ ε_0 c^2} + \frac{1}{c^2} \frac{∂E}{∂t}
Forme intégrale :
\int \bm{B } d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E }d\bm{A }
Symboles utilisés dans les équations de Maxwell
Les équations de Maxwell utilisent une assez grande sélection de symboles, et il est important que vous compreniez ce que cela signifie si vous voulez apprendre à les appliquer. Voici donc un aperçu de la signification des symboles utilisés :
B= champ magnétique
E= champ électrique
ρ= densité de charge électrique
ε0= permittivité de l'espace libre = 8,854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 UNE2
q= charge électrique totale (somme nette des charges positives et des charges négatives)
𝜙B = flux magnétique
J= densité de courant
je= courant électrique
c= vitesse de la lumière = 2.998 × 108 Mme
μ0 = perméabilité de l'espace libre = 4π × 10−7 N / A2
De plus, il est important de savoir que est l'opérateur del, un point entre deux quantités (X ∙ Oui) montre un produit scalaire, un symbole de multiplication en gras entre deux quantités est un produit vectoriel (X × Oui), que l'opérateur del avec un point est appelé la « divergence » (par exemple, ∇ ∙ X= divergence deX= divX) et un opérateur del avec un produit scalaire est appelé le curl (par exemple, ∇× Oui= boucle deOui= boucleOui). Finalement, leUNEen dUNEsignifie la surface de la surface fermée pour laquelle vous calculez (parfois écrite comme dS), et lesen dsest une très petite partie de la limite de la surface ouverte pour laquelle vous calculez (bien que ce soit parfois dje, se référant à une composante de ligne infiniment petite).
Dérivation des équations
La première équation des équations de Maxwell est la loi de Gauss, et elle stipule que le flux électrique net à travers un la surface fermée est égale à la charge totale contenue à l'intérieur de la forme divisée par la permittivité du libre espace. Cette loi peut être dérivée de la loi de Coulomb, après avoir franchi l'étape importante d'exprimer la loi de Coulomb en termes de champ électrique et l'effet qu'elle aurait sur une charge d'essai.
La seconde des équations de Maxwell est essentiellement équivalente à l'affirmation selon laquelle "il n'y a pas de monopôles magnétiques". Il est dit que le flux magnétique net à travers une surface fermée sera toujours égal à 0, car les champs magnétiques sont toujours le résultat d'un dipôle. La loi peut être dérivée de la loi de Biot-Savart, qui décrit le champ magnétique produit par un élément de courant.
La troisième équation - la loi d'induction de Faraday - décrit comment un champ magnétique changeant produit une tension dans une boucle de fil ou de conducteur. Il a été initialement dérivé d'une expérience. Cependant, étant donné le résultat qu'un flux magnétique changeant induit une force électromotrice (CEM ou tension) et donc un courant électrique dans un boucle de fil, et le fait que EMF est défini comme la ligne intégrale du champ électrique autour du circuit, la loi est facile à mettre ensemble.
La quatrième et dernière équation, la loi d'Ampère (ou la loi d'Ampère-Maxwell pour lui donner crédit pour son contribution) décrit comment un champ magnétique est généré par une charge en mouvement ou un changement électrique domaine. La loi est le résultat de l'expérience (et donc - comme toutes les équations de Maxwell - n'a pas vraiment été "dérivée" dans un sens traditionnel), mais en utilisantthéorème de Stokesest une étape importante pour obtenir le résultat de base dans la forme utilisée aujourd'hui.
Exemples d'équations de Maxwell: loi de Gauss
Pour être franc, surtout si vous n'êtes pas exactement au courant de votre calcul vectoriel, les équations de Maxwell semblent assez intimidantes malgré leur relative compacité. La meilleure façon de vraiment les comprendre est de passer en revue quelques exemples de leur utilisation dans la pratique, et la loi de Gauss est le meilleur endroit pour commencer. La loi de Gauss est essentiellement une équation plus fondamentale qui fait le travail de la loi de Coulomb, et c'est assez facile d'en déduire la loi de Coulomb en considérant le champ électrique produit par un point charger.
Appeler la chargeq, le point clé pour appliquer la loi de Gauss est de choisir la bonne « surface » pour examiner le flux électrique à travers. Dans ce cas, une sphère fonctionne bien, qui a une surfaceUNE = 4πr2, car vous pouvez centrer la sphère sur la charge ponctuelle. C'est un énorme avantage pour résoudre des problèmes comme celui-ci, car vous n'avez alors pas besoin d'intégrer un champ variable sur la surface; le champ sera symétrique autour de la charge ponctuelle, et donc constant sur toute la surface de la sphère. Donc la forme intégrale :
\int \bm{E ∙} d\bm{A} = \frac{q}{ε_0}
Peut être exprimé comme :
E × 4πr^2 = \frac{q}{ε_0}
Notez que leEcar le champ électrique a été remplacé par une simple grandeur, parce que le champ d'une charge ponctuelle s'étendra simplement de manière égale dans toutes les directions à partir de la source. Maintenant, en divisant par la surface de la sphère donne :
E = \frac{q}{4πε_0r^2}
Puisque la force est liée au champ électrique parE = F/q, oùqest une charge d'essai,F = qE, et donc:
F = \frac{q_1q_2}{4πε_0r^2}
Où les indices ont été ajoutés pour différencier les deux charges. Il s'agit de la loi de Coulomb énoncée sous forme standard, montrée comme étant une simple conséquence de la loi de Gauss.
Exemples d'équations de Maxwell: la loi de Faraday
La loi de Faraday permet de calculer la force électromotrice dans une boucle de fil résultant d'un champ magnétique changeant. Un exemple simple est une boucle de fil, avec un rayonr= 20 cm, dans un champ magnétique dont l'amplitude augmente deBje = 1 T àBF = 10 T dans l'espace de ∆t= 5 s – quelle est la CEM induite dans ce cas? La forme intégrale de la loi fait intervenir le flux :
\int \bm{E∙ }d\bm{s}= − \frac{∂\phi_B}{ t}
qui est défini comme :
= BA \cos (θ)
L'élément clé du problème ici est de trouver le taux de variation du flux, mais comme le problème est assez simple, vous pouvez remplacer la dérivée partielle par un simple « changement » de chaque quantité. Et l'intégrale signifie simplement la force électromotrice, vous pouvez donc réécrire la loi d'induction de Faraday comme suit :
\text{EMF} = − \frac{∆BA \cos (θ)}{∆t}
Si nous supposons que la boucle de fil a sa normale alignée avec le champ magnétique,θ= 0° et donc cos (θ) = 1. Cela laisse :
\text{EMF} = − \frac{∆BA}{∆t}
Le problème peut alors être résolu en trouvant la différence entre le champ magnétique initial et final et l'aire de la boucle, comme suit :
\begin{aligned} \text{EMF} &= − \frac{∆BA}{∆t} \\ &= − \frac{(B_f - B_i) × πr^2}{∆t} \\ &= − \frac{(10 \text{ T}- 1 \text{ T}) × π × (0,2 \text{ m})^2}{5 \text{ s}} \\ &= − 0,23 \text{ V } \end{aligné}
Ce n'est qu'une petite tension, mais la loi de Faraday est appliquée de la même manière malgré tout.
Exemples d'équations de Maxwell: loi d'Ampère-Maxwell
La loi d'Ampère-Maxwell est la dernière des équations de Maxwell que vous devrez appliquer régulièrement. L'équation revient à la loi d'Ampère en l'absence d'un champ électrique changeant, c'est donc l'exemple le plus simple à considérer. Vous pouvez l'utiliser pour dériver l'équation d'un champ magnétique résultant d'un fil droit transportant un courantje, et cet exemple de base est suffisant pour montrer comment l'équation est utilisée. La loi complète est :
\int \bm{B } d\bm{s} = μ_0 I + \frac{1}{c^2} \frac{∂}{∂t} \int \bm{E }d\bm{A }
Mais sans champ électrique changeant, il se réduit à :
\int \bm{B ∙} d\bm{s} = μ_0 I
Maintenant, comme avec la loi de Gauss, si vous choisissez un cercle pour la surface, centré sur la boucle de fil, l'intuition suggère que le champ magnétique résultant sera symétrique, et vous pouvez donc remplacer l'intégrale par un simple produit de la circonférence de la boucle et de l'intensité du champ magnétique, sortie:
B × 2πr = μ_0 I
Diviser par 2πrdonne :
B = \frac{μ_0 I}{2πr}
Quelle est l'expression acceptée pour le champ magnétique à une distancerrésultant d'un fil droit transportant un courant.
Ondes électromagnétiques
Lorsque Maxwell a assemblé son ensemble d'équations, il a commencé à leur trouver des solutions pour aider à expliquer divers phénomènes dans le monde réel, et l'aperçu qu'il a donné à la lumière est l'un des résultats les plus importants qu'il a obtenu.
Parce qu'un champ électrique changeant génère un champ magnétique (par la loi d'Ampère) et un champ magnétique changeant génère un champ électrique (selon la loi de Faraday), Maxwell a calculé qu'une onde électromagnétique auto-propageante pourrait être possible. Il a utilisé ses équations pour trouver l'équation d'onde qui décrirait une telle onde et a déterminé qu'elle se déplacerait à la vitesse de la lumière. C'était en quelque sorte un moment « eurêka »; il s'est rendu compte que la lumière est une forme de rayonnement électromagnétique, fonctionnant exactement comme le champ qu'il a imaginé !
Une onde électromagnétique se compose d'une onde de champ électrique et d'une onde de champ magnétique oscillant d'avant en arrière, alignées à angle droit l'une par rapport à l'autre. L'oscillation de la partie électrique de l'onde génère le champ magnétique, et l'oscillation de cette partie produit à son tour un champ électrique à nouveau, indéfiniment alors qu'elle se déplace dans l'espace.
Comme toute autre onde, une onde électromagnétique a une fréquence et une longueur d'onde, et le produit de celles-ci est toujours égal àc, la vitesse de la lumière. Les ondes électromagnétiques sont partout autour de nous, et en plus de la lumière visible, d'autres longueurs d'onde sont communément appelées ondes radio, micro-ondes, infrarouges, ultraviolets, rayons X et rayons gamma. Toutes ces formes de rayonnement électromagnétique ont la même forme de base, comme expliqué par les équations de Maxwell, mais leurs énergies varient avec la fréquence (c'est-à-dire qu'une fréquence plus élevée signifie une énergie plus élevée).
Donc, pour un physicien, c'est Maxwell qui a dit: « Que la lumière soit !