En algèbre, les séquences de nombres sont précieuses pour étudier ce qui se passe lorsque quelque chose devient de plus en plus grand ou petit. Une séquence arithmétique est définie par la différence commune, qui est la différence entre un nombre et le suivant dans la séquence. Pour les suites arithmétiques, cette différence est une valeur constante et peut être positive ou négative. En conséquence, une séquence arithmétique ne cesse de s'agrandir ou de se réduire d'un montant fixe chaque fois qu'un nouveau nombre est ajouté à la liste constituant la séquence.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Une séquence arithmétique est une liste de nombres dans lesquels les termes consécutifs diffèrent d'une quantité constante, la différence commune. Lorsque la différence commune est positive, la séquence continue d'augmenter d'un montant fixe, tandis que si elle est négative, la séquence diminue. D'autres séquences courantes sont la séquence géométrique, dans laquelle les termes diffèrent par un facteur commun, et la séquence de Fibonacci, dans laquelle chaque nombre est la somme des deux nombres précédents.
Comment fonctionne une séquence arithmétique
Une suite arithmétique est définie par un nombre de départ, une différence commune et le nombre de termes de la suite. Par exemple, une séquence arithmétique commençant par 12, une différence commune de 3 et cinq termes est 12, 15, 18, 21, 24. Un exemple de séquence décroissante est celle commençant par le nombre 3, une différence commune de -2 et de six termes. Cette séquence est 3, 1, -1, -3, -5, -7.
Les suites arithmétiques peuvent aussi avoir un nombre infini de termes. Par exemple, la première séquence ci-dessus avec un nombre infini de termes serait 12, 15, 18,... et cette séquence continue à l'infini.
Moyenne arithmétique
Une suite arithmétique a une série correspondante qui ajoute tous les termes de la suite. Lorsque les termes sont additionnés et que la somme est divisée par le nombre de termes, le résultat est la moyenne arithmétique ou la moyenne. La formule de la moyenne arithmétique est
\text{mean}= \frac{ \text{somme de }n \text{ termes}}{n}
Un moyen rapide de calculer la moyenne d'une suite arithmétique est d'utiliser l'observation que, lorsque le premier et le dernier termes sont ajoutés, la somme est la même que lorsque le deuxième et l'avant-dernier termes sont ajoutés ou le troisième et le troisième avant-dernier termes. En conséquence, la somme de la séquence est la somme des premier et dernier termes multipliée par la moitié du nombre de termes. Pour obtenir la moyenne, la somme est divisée par le nombre de termes, de sorte que la moyenne d'une séquence arithmétique est la moitié de la somme des premier et dernier termes. Pourmtermesune1 àunem, la formule correspondante pour la moyenne m est
m= \frac{a_1+a_n}{2}
Les suites arithmétiques infinies n'ont pas de dernier terme, et donc leur moyenne est indéfinie. Au lieu de cela, une moyenne pour une somme partielle peut être trouvée en limitant la somme à un nombre défini de termes. Dans ce cas, la somme partielle et sa moyenne peuvent être trouvées de la même manière que pour une suite non infinie.
Autres types de séquences
Les séquences de nombres sont souvent basées sur des observations d'expériences ou de mesures de phénomènes naturels. De telles séquences peuvent être des nombres aléatoires, mais souvent les séquences s'avèrent être des listes arithmétiques ou d'autres listes ordonnées de nombres.
Par exemple, les suites géométriques diffèrent des suites arithmétiques car elles ont un facteur commun plutôt qu'une différence commune. Au lieu d'avoir un nombre ajouté ou soustrait pour chaque nouveau terme, un nombre est multiplié ou divisé chaque fois qu'un nouveau terme est ajouté. Une séquence qui est 10, 12, 14,... comme une suite arithmétique avec une différence commune de 2 devient 10, 20, 40,... comme une suite géométrique avec un facteur commun de 2.
D'autres séquences suivent des règles complètement différentes. Par exemple, les termes de la séquence de Fibonacci sont formés en additionnant les deux nombres précédents. Sa séquence est 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Les termes doivent être ajoutés individuellement pour obtenir une somme partielle car la méthode rapide d'addition du premier et du dernier termes ne fonctionne pas pour cette séquence.
Les suites arithmétiques sont simples mais elles ont des applications réelles. Si le point de départ est connu et que la différence commune peut être trouvée, la valeur de la série à un moment précis dans le futur peut être calculée et la valeur moyenne peut également être déterminée.