En mathématiques, une séquence est une chaîne de nombres classés par ordre croissant ou décroissant. Une séquence devient une séquence géométrique lorsque vous êtes capable d'obtenir chaque nombre en multipliant le nombre précédent par un facteur commun. Par exemple, les séries 1, 2, 4, 8, 16... est une suite géométrique de facteur commun 2. Si vous multipliez un nombre de la série par 2, vous obtiendrez le nombre suivant. En revanche, la séquence 2, 3, 5, 8, 14, 22... n'est pas géométrique car il n'y a pas de facteur commun entre les nombres. Une séquence géométrique peut avoir un facteur commun fractionnaire, auquel cas chaque nombre successif est plus petit que celui qui le précède. 1, 1/2, 1/4, 1/8... est un exemple. Son facteur commun est 1/2.
Le fait qu'une suite géométrique ait un facteur commun permet de faire deux choses. La première consiste à calculer n'importe quel élément aléatoire de la séquence (que les mathématiciens aiment appeler le "mth"), et la seconde est de trouver la somme de la séquence géométrique jusqu'à la
mème élément. Lorsque vous additionnez la séquence en mettant un signe plus entre chaque paire de termes, vous transformez la séquence en une série géométrique.Trouver le nième élément d'une série géométrique
En général, vous pouvez représenter n'importe quelle série géométrique de la manière suivante :
a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 +.. .
où "une" est le premier terme de la série et "r" est le facteur commun. Pour le vérifier, considérons la série dans laquelleune= 1 etr= 2. Vous obtenez 1 + 2 + 4 + 8 + 16... Ça marche!
Ceci étant établi, il est maintenant possible de dériver une formule pour le nième terme de la suite (Xm).
x_n = ar^{(n-1)}
L'exposant estm− 1 plutôt quempour permettre au premier terme de la séquence d'être écrit commear0, ce qui équivaut à "une."
Vérifiez cela en calculant le 4ème terme de la série d'exemples.
x_4 = (1) × 2^3 = 8
Calcul de la somme d'une séquence géométrique
Si vous voulez additionner une suite divergente, qui est une suite avec un rapport commun supérieur à 1 ou inférieur à -1, vous ne pouvez le faire que jusqu'à un nombre fini de termes. Il est cependant possible de calculer la somme d'une suite convergente infinie, qui a un rapport commun compris entre 1 et − 1.
Pour développer la formule de somme géométrique, commencez par considérer ce que vous faites. Vous recherchez le total des séries d'ajouts suivantes :
a + ar + ar^2 + ar^3 +... + ar^{(n-1)}
Chaque terme de la série estark, etkpasse de 0 àm− 1. La formule de la somme de la série utilise le signe sigma majuscule - - qui signifie additionner tous les termes de (k= 0) à (k = m − 1).
\sum_k^{n-1} ar^k = a\bigg(\frac{1 - r^n}{1 - r}\bigg)
Pour le vérifier, considérons la somme des 4 premiers termes de la série géométrique commençant à 1 et ayant un facteur commun de 2. Dans la formule ci-dessus,une = 1, r= 2 etm= 4. En branchant ces valeurs, vous obtenez :
1 \bigg(\frac{1 - 2^4}{1 - 2}\bigg) = 15
Ceci est facile à vérifier en ajoutant vous-même les nombres de la série. En fait, lorsque vous avez besoin de la somme d'une série géométrique, il est généralement plus facile d'ajouter les nombres vous-même lorsqu'il n'y a que quelques termes. Si la série a un grand nombre de termes, cependant, il est beaucoup plus facile d'utiliser la formule de somme géométrique.