L'intégration de fonctions est l'une des principales applications du calcul. Parfois, c'est simple, comme dans :
F(x) = \int( x^3 + 8) dx
Dans un exemple relativement compliqué de ce type, vous pouvez utiliser une version de la formule de base pour intégrer des intégrales indéfinies :
\int (x^n + A) dx = \frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Ax + C
oùUNEetCsont des constantes.
Ainsi pour cet exemple,
\int x^3 + 8 = \frac{x^4}{4} + 8x + C
Intégration des fonctions de racine carrée de base
En surface, l'intégration d'une fonction racine carrée est délicate. Par exemple, vous pouvez être bloqué par :
F(x) = \int \sqrt{(x^3) + 2x - 7}dx
Mais vous pouvez exprimer une racine carrée sous forme d'exposant, 1/2 :
\sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
L'intégrale devient donc :
\int (x^{3/2} + 2x - 7)dx
à laquelle vous pouvez appliquer la formule habituelle ci-dessus :
\begin{aligned} \int (x^{3/2} + 2x - 7)dx &= \frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2\bigg(\frac{x ^2}{2}\bigg) - 7x \\ &= \frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 - 7x \end{aligned}
Intégration de fonctions racine carrée plus complexes
Parfois, vous pouvez avoir plus d'un terme sous le signe radical, comme dans cet exemple :
F(x) = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x - 3}}dx
Vous pouvez utiliservous-substitution pour continuer. Ici, vous définissezvouségal à la quantité au dénominateur :
u = \sqrt{x - 3}
Résoudre ça pourXen mettant au carré les deux côtés et en soustrayant :
u^2 = x - 3 \\ x = u^2 + 3
Cela vous permet d'obtenir dx en termes devousen prenant la dérivée deX:
dx = (2u) du
La substitution dans l'intégrale d'origine donne
\begin{aligned} F(x) &= \int \frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u) du \\ &= \int \frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }du \\ &= \int (2u^2 + 8)du \end{aligné}
Vous pouvez maintenant intégrer cela en utilisant la formule de base et en exprimantvousen terme deX:
\begin{aligned} \int (2u^2 + 8)du &= \frac{2}{3}u^3 + 8u + C \\ &= \frac{2}{3} (\sqrt{x - 3})^3 + 8( \sqrt{x - 3}) + C \\ &= \frac{2}{3} (x - 3)^{(3/2)} + 8(x - 3) ^{(1/2)} + C \end{aligné}