En géométrie, un octogone est un polygone à huit côtés. Un octogone régulier a huit côtés égaux et des angles égaux. L'octogone régulier est communément reconnu à partir des panneaux d'arrêt. Un octaèdre est un polyèdre à huit côtés. Un octaèdre régulier a huit triangles avec des arêtes de même longueur. Il s'agit en fait de deux pyramides carrées se rejoignant à leurs bases.
Formule de la zone octogonale
La formule pour l'aire d'un octogone régulier avec des côtés de longueur "a" est 2(1+sqrt (2))a^2, où "sqrt" indique la racine carrée.
Dérivation
Un octogone peut être considéré comme 4 rectangles, un carré au centre et quatre triangles isocèles dans les coins.
Le carré est d'aire a^2.
Les triangles ont des côtés a, a/sqrt (2) et a/sqrt (2), d'après le théorème de Pythagore. Par conséquent, chacun a une aire de a^2/4.
Les rectangles sont d'aire a * a/sqrt (2).
La somme de ces 9 zones est 2a^2 (1 + sqrt (2)).
Formule de volume d'octaèdre
La formule du volume d'un octaèdre régulier de côtés "a" est a^3 * sqrt (2)/3.
Dérivation
L'aire d'une pyramide à quatre côtés est l'aire de la base * hauteur / 3. L'aire d'un octogone régulier est donc 2 * base * hauteur / 3.
Base = a^2 trivialement.
Choisissez deux sommets adjacents, dites "F" et "C". "O" est au centre. FOC est un triangle rectangle isocèle de base "a", donc OC et OF ont une longueur a/sqrt (2) d'après le théorème de Pythagore. Donc hauteur = a/sqrt (2).
Donc le volume d'un octaèdre régulier est 2 * (a^2) * a/sqrt (2) / 3 = a^3 * sqrt (2) / 3.
Superficie
La surface de l'octaèdre régulier est l'aire d'un triangle équilatéral de côté "a" multiplié par 8 faces.
Pour utiliser le théorème de Pythagore, tracez une ligne du sommet à la base. Cela crée deux triangles rectangles, avec l'hypoténuse de longueur "a" et un côté de longueur "a/2". Par conséquent, le troisième côté doit être sqrt[a^2 - a^2/4] = sqrt (3)a/2. Ainsi, l'aire d'un triangle équilatéral est hauteur * base/2 = carré (3)a/2 * a/2 = carré (3)a^2/4.
Avec 8 côtés, la surface d'un octaèdre régulier est de 2 * sqrt (3) * a^2.
