La maîtrise des concepts de sinus et de cosinus fait partie intégrante de la trigonométrie. Mais une fois que vous avez ces idées à votre actif, elles deviennent les éléments constitutifs d'autres outils utiles en trigonométrie et, plus tard, en calcul. Par exemple, la "loi des cosinus" est une formule spéciale que vous pouvez utiliser pour trouver le côté manquant d'un triangle si vous savez la longueur des deux autres côtés plus l'angle entre eux, ou pour trouver les angles d'un triangle quand on connaît les trois côtés.
La loi des cosinus
La loi des cosinus se décline en plusieurs versions, selon les angles ou les côtés du triangle auxquels vous avez affaire :
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc × \cos (A) \\ b^2 = a^2 + c^2 – 2ac × \cos (B) \\ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab × \cos (C)
Dans chaque cas,une, betcsont les côtés d'un triangle, etUNE, B, ou alorsCest l'angle opposé au côté de la même lettre. DoncUNEest l'angle du côté opposéun Best l'angle du côté opposéb, etCest l'angle du côté opposéc. C'est la forme de l'équation que vous utilisez si vous trouvez la longueur de l'un des côtés du triangle.
La loi des cosinus peut également être réécrite dans des versions qui facilitent la recherche de l'un des trois angles du triangle, en supposant que vous connaissiez la longueur des trois côtés du triangle :
cos (A) = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \\ \,\\ cos (B) = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{ 2ac} \\ \,\\ cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
Résoudre pour un côté
Afin d'utiliser la loi des cosinus pour résoudre le côté d'un triangle, vous avez besoin de trois informations: les longueurs des deux autres côtés du triangle, plus l'angle entre eux. Choisissez la version de la formule où le côté que vous voulez trouver est à gauche de l'équation, et les informations que vous avez déjà sont à droite. Donc si vous voulez trouver la longueur du côtéune, vous utiliseriez la version
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc × \cos (A)
Remplacez les valeurs des deux côtés connus, et l'angle entre eux, dans la formule. Si votre triangle a des côtés connusbetcqui mesurent respectivement 5 unités et 6 unités, et l'angle entre eux mesure 60 degrés (qui pourrait également être exprimé en radians comme π/3), vous auriez :
a^2 = 5^2 + 6^2 - (2 × 5 × 6) × \cos (60)
Utilisez un tableau ou votre calculatrice pour rechercher la valeur du cosinus; dans ce cas, cos (60) = 0.5, vous donnant l'équation :
a^2 = 5^2 + 6^2 – (2 × 5 × 6) × 0,5
Simplifiez le résultat de l'étape 2. Cela vous donne :
a^2 = 25 + 36 - 30
Ce qui à son tour se simplifie en :
a^2 = 31
Prenez la racine carrée des deux côtés pour terminer la résolution deune. Cela vous laisse avec :
a = \sqrt{31}
Bien que vous puissiez utiliser un graphique ou votre calculatrice pour estimer la valeur de √31 (c'est 5,568), vous serez souvent autorisé - et même encouragé - à laisser la réponse sous sa forme radicale plus précise.
Résolution d'un angle
Vous pouvez appliquer le même processus pour trouver l'un des angles du triangle si vous connaissez ses trois côtés. Cette fois, vous choisirez la version de la formule qui place l'angle manquant ou « je ne le sais pas » sur le côté gauche du signe égal. Imaginez que vous vouliez trouver la mesure de l'angle C (qui, rappelez-vous, est défini comme l'angle du côté opposéc). Vous utiliseriez cette version de la formule :
\cos (C) = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}
Remplacez les valeurs connues - dans ce type de problème, c'est-à-dire les longueurs des trois côtés du triangle - dans l'équation. Par exemple, laissez les côtés de votre triangle êtreune= 3 unités,b= 4 unités etc= 25 unités. Donc ton équation devient :
\cos (C) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 × 3 × 4}
Une fois que vous avez simplifié l'équation résultante, vous aurez :
\cos (C) = \frac{0}{24}
ou simplement cos(C) = 0.
Calculer le cosinus inverse ou arc cosinus de 0, souvent noté cos-1(0). Ou, en d'autres termes, quel angle a un cosinus de 0? Il y a en fait deux angles qui renvoient cette valeur: 90 degrés et 270 degrés. Mais par définition, vous savez que chaque angle d'un triangle doit être inférieur à 180 degrés, ce qui ne laisse que 90 degrés en option.
Ainsi, la mesure de votre angle manquant est de 90 degrés, ce qui signifie que vous avez affaire à un triangle rectangle, bien que cette méthode fonctionne également avec des triangles non rectangles.