La loi des sinus est une formule qui compare la relation entre les angles d'un triangle et la longueur de ses côtés. Tant que vous connaissez au moins deux côtés et un angle, ou deux angles et un côté, vous pouvez utiliser la loi des sinus pour trouver les autres informations manquantes sur votre triangle. Cependant, dans un ensemble de circonstances très limité, vous pouvez vous retrouver avec deux réponses à la mesure d'un angle. C'est ce qu'on appelle le cas ambigu de la loi des sinus.
Quand l'affaire ambiguë peut arriver
Le cas ambigu de la loi des sinus ne peut se produire que si la partie "information connue" de votre triangle se compose de deux côtés et d'un angle, où l'angle estne pasentre les deux côtés connus. Ceci est parfois abrégé en SSA ou triangle latéral-angle. Si l'angle était entre les deux côtés connus, il serait abrégé en SAS ou triangle côté angle-côté, et le cas ambigu ne s'appliquerait pas.
Un récapitulatif de la loi des sinus
La loi des sinus peut s'écrire de deux manières. La première forme est pratique pour trouver les mesures des côtés manquants :
\frac{a}{\sin (A)}= \frac{b}{\sin (B)} = \frac{c}{\sin (C)}
La deuxième forme est pratique pour trouver les mesures des angles manquants :
\frac{\sin (A)}{a}= \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}
Notez que les deux formes sont équivalentes. L'utilisation d'une forme ou de l'autre ne changera pas le résultat de vos calculs. Cela les rend simplement plus faciles à utiliser en fonction de la solution que vous recherchez.
À quoi ressemble le cas ambigu
Dans la plupart des cas, le seul indice que vous pourriez avoir un cas ambigu sur vos mains est la présence d'un triangle SSA où vous êtes invité à trouver l'un des angles manquants. Imaginez que vous avez un triangle avec un angleUNE= 35 degrés, côtéune= 25 unités et côtéb= 38 unités, et on vous a demandé de trouver la mesure de l'angleB. Une fois que vous avez trouvé l'angle manquant, vous devez vérifier si le cas ambigu s'applique.
Insérez vos informations connues dans la loi des sinus. En utilisant la deuxième forme, cela vous donne :
\frac{\sin (35)}{25}= \frac{\sin (B)}{38} = \frac{\sin (C)}{c}
Ne tenez pas compte du péché (C)/c; cela n'a pas d'importance aux fins de ce calcul. Alors vraiment, vous avez :
\frac{\sin (35)}{25}= \frac{\sin (B)}{38}
Résoudre pourB. Une option consiste à effectuer une multiplication croisée; cela vous donne :
25 × \sin (B) = 38 ×\ sin (35)
Ensuite, simplifiez en utilisant une calculatrice ou un graphique pour trouver la valeur de sin (35). C'est environ 0,57358, ce qui vous donne :
25 × \sin (B) = 38 × 0,57358
qui se simplifie en :
25 × \sin (B) = 21.79604
Ensuite, divisez les deux côtés par 25 pour isoler sin(B), te donne:
\sin (B) = 0.8718416
Pour finir de résoudreB, prenez l'arc sinus ou le sinus inverse de 0,8718416. Ou, en d'autres termes, utilisez votre calculatrice ou votre graphique pour trouver la valeur approximative d'un angle B qui a le sinus de 0,8718416. Cet angle est d'environ 61 degrés.
Rechercher le cas ambigu
Maintenant que vous avez une solution initiale, il est temps de vérifier le cas ambigu. Ce cas apparaît car pour chaque angle aigu, il y a un angle obtus avec le même sinus. Ainsi, alors que ~61 degrés est l'angle aigu qui a un sinus de 0,8718416, vous devez également considérer l'angle obtus comme une solution possible. C'est un peu délicat car votre calculatrice et votre tableau des valeurs de sinus ne vous diront probablement pas sur l'angle obtus, vous devez donc vous rappeler de le vérifier.
Trouvez l'angle obtus avec le même sinus en soustrayant l'angle que vous avez trouvé - 61 degrés - de 180. Vous avez donc 180 - 61 = 119. Donc 119 degrés est l'angle obtus qui a le même sinus que 61 degrés. (Vous pouvez vérifier cela avec une calculatrice ou un diagramme sinusoïdal.)
Mais cet angle obtus fera-t-il un triangle valide avec les autres informations dont vous disposez? Vous pouvez facilement vérifier en ajoutant ce nouvel angle obtus à "l'angle connu" qui vous a été donné dans le problème d'origine. Si le total est inférieur à 180 degrés, l'angle obtus représente une solution valide, et vous devrez continuer tout autre calcul avectous les deuxtriangles valides en considération. Si le total est supérieur à 180 degrés, l'angle obtus ne représente pas une solution valide.
Dans ce cas, "l'angle connu" était de 35 degrés, et l'angle obtus nouvellement découvert était de 119 degrés. Vous avez donc :
119 + 35 = 154 \text{ degrés}
Parce que 154 degrés < 180 degrés, le cas ambigu s'applique et vous avez deux solutions valides: L'angle en question peut mesurer 61 degrés, ou il peut mesurer 119 degrés.