En géométrie, le radian est une unité utilisée pour mesurer les angles. Le radian vient de la longueur du rayon du cercle. Le segment de la circonférence d'un cercle qui correspond à l'angle formé par deux lignes de rayon forme un arc. L'angle que cet arc crée, lorsque vous tracez des lignes entre ses points de départ et d'arrivée et le centre du cercle, est d'un radian. Bien que le radian puisse sembler étrange et compliqué au début, il simplifie les équations en mathématiques et en physique.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
En géométrie, un radian est une unité basée sur le cercle et utilisée pour mesurer les angles. Il facilite les calculs dans les types avancés de mathématiques.
Degrés vs. Radians
En dehors de la physique et des mathématiques avancées, les degrés sont généralement des unités plus familières pour les mesures angulaires. Un cercle, par exemple, a 360 degrés, un triangle en a 180 et un angle droit en a 90. En revanche, un cercle complet a 2 × π (pi) radians, un triangle a π radians et un angle droit est π/2 radians. Un cercle a un nombre entier de degrés, alors qu'en radians la valeur est un nombre irrationnel, donc les radians à première vue peuvent sembler étranges. D'un autre côté, vous pouvez exprimer des fractions de degré sous forme décimale, ou sous forme de minutes, secondes et secondes décimales que vous utilisez également avec le temps, de sorte que le degré a ses propres problèmes.
Plus facile et plus difficile
Les mesures en degrés sont généralement plus faciles à traiter que les radians pour l'arithmétique et la trigonométrie de base; vous devez rarement traiter des fractions de lorsque vous exprimez un angle. Mais pour le calcul et d'autres mathématiques avancées, il s'avère que les radians sont plus faciles. Par exemple, la série entière de la fonction sinus en radians est la suivante :
\sin (x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9 }{9!} + ...
En degrés, la fonction ressemble à ceci :
\sin (x) = (π × x/180) - \frac{(π × x/180)^3}{3!} + \frac{(π × x/180)^5}{ 5!} - \frac{ (π × x/180)^7}{7!} + \frac{(π × x/180)^9}{9!} + ...
Pour cette série de puissance, notez que vous devez répéter le « π ×X/180" pour chaque terme - beaucoup d'écriture et de calcul supplémentaires par rapport à l'équivalent plus net et plus compact en radians. Le radian provient de la géométrie naturelle d'un cercle plutôt que d'une division par un nombre arbitraire, comme le font les degrés. Parce que les radians facilitent de nombreux calculs, les mathématiciens pensent que l'unité est plus « naturelle » que les degrés.
Utilisations pour les radians
En plus des séries entières telles que l'exemple de la fonction sinus, vous verrez des radians en mathématiques impliquant des calculs et des équations différentielles. Par exemple, lorsque vous utilisez des radians, la dérivée de la fonction sinus, sin(X), est simplement le cosinus, cos(X). En degrés, cependant, la dérivée de sin(X) est le plus encombrant (π ÷ 180) × cos(X). Au fur et à mesure que vous progressez en mathématiques, les problèmes deviennent plus difficiles et les solutions nécessitent beaucoup plus de lignes de calcul et d'algèbre. Les radians vous évitent beaucoup d'écritures supplémentaires inutiles et réduisent les risques de faire des erreurs.
En physique, les formules pour la fréquence des ondes et la vitesse de rotation des objets utilisent un oméga minuscule, "ω, » comme raccourci pratique pour « 2 × π × radians par seconde ».
Conversion de degrés en radians
Les formules pour convertir les degrés en radians et inversement sont simples. Pour convertir des angles en degrés en radians, multipliez l'angle par, puis divisez par 180. Par exemple, un cercle a 360 degrés. Multiplié par π, cela devient 360π; puis divisez par 180 et vous obtenez 2π radians. Pour convertir des radians en degrés, multipliez par 180, puis divisez par π. Par exemple, convertissez un angle droit, π ÷ 2 radians. Multipliez par 180 pour obtenir 90π, puis divisez par pour obtenir le résultat, 90 degrés.