En mathématiques, l'inverse d'un nombre est le nombre qui, multiplié par le nombre d'origine, produit 1. Par exemple, l'inverse de la variable x est 1/X, car
x × \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1
Dans cet exemple, 1/Xest l'identité réciproque deX, et vice versa. En trigonométrie, l'un des angles non-90 degrés dans un triangle rectangle peut être défini par des rapports appelés sinus, cosinus et tangente. En appliquant le concept d'identités réciproques, les mathématiciens définissent trois autres ratios. Leurs noms sont cosécante, sécante et cotangente. La cosécante est l'identité réciproque du sinus, la sécante celle du cosinus et la cotangente celle de la tangente.
Comment déterminer les identités réciproques
Considérez un angleθ, qui est l'un des deux angles non-90 degrés dans un triangle rectangle. Si la longueur du côté du triangle opposé à l'angle est "b," la longueur du côté adjacent à l'angle et opposé aux hypoténuses est "une" et la longueur de l'hypoténuse est "r," nous pouvons définir les trois principaux rapports trigonométriques en fonction de ces longueurs.
\text{sine } θ = \sin θ = \frac{b}{r} \\ \,\\ \text{cosinus }θ = \cos θ = \frac{a}{r} \\ \,\\ \text{tangente }θ = \tan θ = \frac{b}{a} \\
L'identité réciproque du péchéθdoit être égal à 1/sin θ, puisque c'est le nombre qui, multiplié par sinθ, produit 1. Il en est de même pour cosθet bronzerθ. Les mathématiciens donnent à ces réciproques les noms respectivement cosécante, sécante et cotangente. Par définition:
\text{cosécant }θ = \csc θ = \frac{1}{\sin θ} \\ \,\\ \text{secant }θ = \sec θ = \frac{1}{\cos θ} \\ \,\\ \text{cotangente }θ = \cot θ = \frac{1}{\tan θ}
Vous pouvez définir ces identités réciproques en termes de longueurs des côtés du triangle rectangle comme suit :
\csc θ = \frac{r}{b} \\ \,\\ \sec θ = \frac{r}{a} \\ \,\\ \cot θ = \frac{a}{b}
Les relations suivantes sont vraies pour n'importe quel angleθ:
\sin θ × \csc = 1 \\ \cos θ × \sec θ = 1 \\ \tan θ × \cot θ = 1
Deux autres identités trigonométriques
Si vous connaissez le sinus et le cosinus d'un angle, vous pouvez en déduire la tangente. C'est vrai parce
\sin θ = \frac{b}{r} \text{ et } \cos θ = \frac{a}{r} \text{, donc } \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac {b}{r} × \frac{r}{a} = \frac{b}{a}
Comme il s'agit de la définition de tan θ, l'identité suivante, connue sous le nom d'identité du quotient, suit :
\frac{\sin }{\cos θ} = \tan \\ \,\\ \frac{\cos θ}{\sin θ} = \cot θ
L'identité pythagoricienne découle du fait que, pour tout triangle rectangle de côtésuneetbet hypoténuser, ce qui suit est vrai :une2 + b2 = r2. En réarrangeant les termes et en définissant des rapports en termes de sinus et de cosinus, vous arrivez à l'expression suivante :
\sin^2 + \cos^2 θ = 1
Deux autres relations importantes suivent lorsque vous insérez des identités réciproques pour le sinus et le cosinus dans l'expression ci-dessus :
\tan^2 + 1 = \sec^2 θ \\ \cot^2 θ + 1 = \csc^2 θ