Vous pouvez écrire le rapport entre les deux nombres 5 et 7 sous la forme 5:7 ou 5/7. Si vous pensez que la deuxième forme ressemble à une fraction, vous avez raison. C'est aussi un nombre rationnel, car c'est un quotient, ou un rapport, de nombres entiers. Dans ce contexte, les mots « ratio » et « rationnel » sont liés; un nombre rationnel est tout nombre qui peut être écrit comme un quotient de nombres entiers. Les nombres rationnels peuvent être écrits sous forme décimale, mais tous les nombres décimaux ne sont pas rationnels. Un nombre n'est rationnel que si vous pouvez l'écrire sous la forme d'un quotient de nombres entiers. La racine carrée de 2 et pi (π) sont deux exemples de nombres qui ne satisfont pas à cette condition, ce sont donc des nombres irrationnels. Les quotients avec zéro au dénominateur sont également irrationnels.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Pour exprimer une décimale sous forme de quotient de nombres entiers, divisez par une puissance de dix égale au nombre de décimales.
Écrire des nombres entiers sous forme de quotients
Le nombre 5 est un nombre rationnel, vous devez donc pouvoir l'exprimer sous forme de quotient, et vous le pouvez. Diviser n'importe quel nombre par 1 vous donne le nombre d'origine, donc pour exprimer un entier comme 5 sous forme de quotient, vous écrivez simplement 5/1. Il en est de même pour les nombres négatifs: -5 = -5/1.
Écrire les nombres décimaux sous forme de quotients
Les décimales ne sont qu'une autre façon d'écrire des fractions. Une seule décimale vous indique de diviser le nombre par 10, donc 0,5 équivaut à 5/10. Deux emplacements vous indiquent de diviser par 100, trois emplacements vous indiquent de diviser par 1 000 et ainsi de suite. Vous divisez par 10 à la puissance du nombre de chiffres à droite de la virgule décimale.
0,23 = \frac{23}{100} \\ \,\\ 0,1456723 = \frac{1456723}{10^7}= \frac{1456723}{10 000 000}
Les nombres mixtes composés d'un nombre entier et d'un nombre décimal sont également rationnels car vous pouvez les exprimer sous forme de fraction. Par exemple, pour exprimer 5,36 sous forme de fraction :
5.36 = 5 + \frac{36}{100}
Vous multiplieriez le nombre entier et le dénominateur, les ajouteriez au numérateur, puis utiliseriez ce résultat comme numérateur de la nouvelle fraction :
(5 × 100) + 36 = 500 + 36 = \frac{536}{100}
Répéter les décimales
Certaines décimales sont constituées d'un nombre infini d'entiers répétés, tels que 0,33333... ou 2.135135135... Ces nombres semblent irrationnels, mais ils ne le sont pas, car il est possible de les écrire sous forme de quotients de nombres entiers. Pour ce faire, vous divisez la chaîne de nombres répétitive par une chaîne de 9 de même longueur.
Dans la chaîne 0.33333..., seules les 3 répétitions. Divisez cela par 9 pour obtenir 3/9, ce qui simplifie à 1/3.
Le nombre 2.135135135... a trois chiffres répétés: 135. Divisez 135 par une chaîne de trois 9 pour obtenir 135/999 et multipliez cette fraction par 2, qui est le nombre à gauche de la virgule décimale. En utilisant la procédure précédente pour combiner un nombre entier et une fraction, vous obtenez :
\begin{aligned} 2 × \frac{135}{999} &= (2 × 999) + 135 \\ \,\\ &= 1998 + 135 \\ \,\\ &= \frac{2133}{999 } \end{aligné}