Comment résoudre des triangles rectangles spéciaux

En mathématiques et en géométrie, l'une des compétences qui distingue les experts des prétendants est la connaissance des astuces et des raccourcis. Le temps que vous passez à les apprendre est récompensé en temps gagné lorsque vous résolvez des problèmes. Par exemple, il vaut la peine de connaître deux triangles rectangles spéciaux qui, une fois que vous les reconnaissez, sont faciles à résoudre. Les deux triangles en particulier sont le 30-60-90 et le 45-45-90.

TL; DR (trop long; n'a pas lu)

Deux triangles rectangles spéciaux ont des angles internes de 30, 60 et 90 degrés et de 45, 45 et 90 degrés.

Les triangles sont des polygones à trois côtés dont les angles internes totalisent 180 degrés. Le triangle rectangle est un cas particulier dans lequel l'un des angles est de 90 degrés, donc les deux autres angles doivent par définition totaliser 90. Les fonctions sinus, cosinus, tangente et autres fonctions trigonométriques permettent de calculer les angles internes des triangles rectangles ainsi que la longueur de leurs côtés. Un autre outil de calcul indispensable pour les triangles rectangles est le théorème de Pythagore, qui dit que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, ou

Lorsque vous travaillez sur n'importe quel type de problème de triangle rectangle, on vous donne généralement au moins un angle et un côté et on vous demande de calculer les angles et les côtés restants. En utilisant la formule de Pythagore ci-dessus, vous pouvez calculer la longueur de n'importe quel côté si on vous donne les deux autres. Un gros avantage des triangles rectangles spéciaux est que les proportions des longueurs de leurs côtés sont toujours les mêmes, vous pouvez donc trouver la longueur de tous les côtés si vous n'en avez qu'un. De plus, si vous n'avez qu'un côté et que le triangle est spécial, vous pouvez également trouver les valeurs des angles.

Comme son nom l'indique, le triangle rectangle 30-60-90 a des angles internes de 30, 60 et 90 degrés. En conséquence, les côtés de ce triangle tombent dans les proportions, 1: 2: 3, où 1 et √3 sont les longueurs des côtés opposés et adjacents et 2 est l'hypoténuse. Ces nombres vont toujours ensemble: si vous résolvez les côtés d'un triangle rectangle et trouvez qu'ils correspondent au motif, 1, 2, 3, vous savez que les angles seront de 30, 60 et 90 degrés. De même, si l'un des angles est de 30, vous savez que les deux autres sont 60 et 90, et aussi que les côtés auront les proportions 1: 2: 1:3.

Le triangle 45-45-90 fonctionne un peu comme le 30-60-90, sauf que deux angles sont égaux, tout comme les côtés opposés et adjacents. Il a des angles internes de 45, 45 et 90 degrés. Les proportions des côtés du triangle sont 1: 1: with2, la proportion de l'hypoténuse étant √2. Les deux autres côtés sont de longueur égale. Si vous travaillez sur un triangle rectangle et que l'un des angles internes est de 45 degrés, vous savez dans un instant que l'angle restant doit également être de 45 degrés, car le triangle entier doit totaliser 180 degrés.

Lors de la résolution des deux triangles rectangles spéciaux, gardez à l'esprit que c'est leproportionsdes côtés qui comptent, et non leur mesure en termes absolus. Par exemple, un triangle a des côtés qui mesurent 1 pied et 1 pied et √2 pieds, donc vous savez que c'est un triangle 45-45-90 et a des angles internes de 45, 45 et 90 degrés.

Mais que faire d'un triangle rectangle dont les côtés mesurent √17 pieds et √17 pieds? Les proportions des côtés sont la clé. Étant donné que les deux côtés sont identiques, la proportion est de 1:1 entre eux, et parce que c'est un triangle rectangle, la proportion de l'hypoténuse est de 1:√2 avec l'un des autres côtés. Les proportions égales vous indiquent que les côtés sont 1, 1, 2, qui n'appartient qu'au triangle spécial 45-45-90. Pour trouver l'hypoténuse, multipliez √17 par √2 pour obtenir √34 pieds.