Parfois, le seul moyen de faire des calculs mathématiques est la force brute. Mais de temps en temps, vous pouvez économiser beaucoup de travail en reconnaissant des problèmes particuliers que vous pouvez résoudre à l'aide d'une formule standardisée. Trouver la somme des cubes et trouver la différence des cubes en sont deux exemples: une fois que vous connaissez les formules de factorisationune3 + b3 ou alorsune3 - b3, trouver la réponse est aussi simple que de substituer les valeurs de a et b dans la formule correcte.
Le mettre en contexte
Tout d'abord, un rapide coup d'œil sur les raisons pour lesquelles vous pourriez vouloir trouver - ou plus exactement " factoriser " - les sommes ou les différences de cubes. Lorsque le concept est introduit pour la première fois, il s'agit d'un simple problème mathématique en soi. Mais si vous continuez à étudier les mathématiques, cela deviendra plus tard une étape intermédiaire dans des calculs plus complexes. Donc si vous obtenezune3 + b3 ou alors
une3 − b3 comme réponse lors d'autres calculs, vous pouvez utiliser les compétences que vous êtes sur le point d'apprendre pour casser ces cubes nombres séparés en composants plus simples, ce qui facilite souvent la poursuite de la résolution de l'original problème.Factorisation de la somme des cubes
Imaginez que vous êtes arrivé au binôme
x^3 + 27
et sont invités à le simplifier. Le premier terme,X3, est évidemment un nombre au cube. Après un petit examen, vous pouvez voir que le deuxième nombre est en fait aussi un nombre au cube: 27 équivaut à 33. Maintenant que vous savez que les deux nombres sont des cubes, vous pouvez appliquer la formule de la somme des cubes.
Écrivez les deux nombres sous leur forme cubique, si ce n'est pas déjà le cas. Pour continuer cet exemple, vous auriez :
x^3 + 27 = x^3 + 3^3
Une fois que vous êtes habitué au processus, vous pouvez sauter cette étape et passer directement au remplissage des valeurs de l'étape 1 dans la formule. Mais surtout quand on apprend, il vaut mieux y aller étape par étape et se rappeler la formule :
a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
Comparez le côté gauche de cette équation au résultat de l'étape 1. Notez que vous pouvez remplacerXau lieu deune,et 3 à la place deb.
Remplacez les valeurs de l'étape 1 dans la formule de l'étape 2. Vous avez donc :
x^3 + 3^3 = (x + 3) (x^2 - 3x + 3^2)
Pour l'instant, arriver au côté droit de l'équation représente votre réponse. Ceci est le résultat de la factorisation de la somme de deux nombres au cube.
Factorisation de la différence de cubes
La factorisation de la différence de deux nombres au cube fonctionne de la même manière. En fait, la formule est presque identique à la formule de la somme des cubes. Mais il y a une différence cruciale: portez une attention particulière à l'endroit où va le signe moins.
Imaginez que vous obtenez le problème
y^3 - 125
et il faut le factoriser. Comme avant,oui3 est un cube évident, et avec un peu de réflexion, vous devriez être capable de reconnaître que 125 est en fait 53. Vous avez donc :
y^3 - 125 = y^3 - 5^3
Comme précédemment, écris la formule de la différence des cubes. Notez que vous pouvez remplacerouipouruneet 5 pourb, et notez particulièrement où va le signe moins dans cette formule. L'emplacement du signe moins est la seule différence entre cette formule et la formule de la somme des cubes.
a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)
Écrivez à nouveau la formule, cette fois en remplaçant les valeurs de l'étape 1. Cela donne :
y^3 - 5^3 = (y - 5)(y^2 + 5y + 5^2)
Encore une fois, si tout ce que vous avez à faire est de prendre en compte la différence des cubes, voici votre réponse.