Cela n'a de sens de convertir un angle (ø) en une distance (d) que lorsque la distance en question est sur la circonférence d'un cercle ou sur la surface d'une sphère. Lorsque c'est le cas, utilisez l'équation ø = d/r – où r est le rayon du cercle ou de la sphère. Cela donne une valeur en radians, qui est facile à convertir en degrés. Si vous connaissez l'angle en degrés et que vous voulez trouver la longueur de l'arc, convertissez l'angle en radians, puis utilisez l'expression inverse: d = ø • r. Pour obtenir la distance en unités anglaises, vous devez exprimer le rayon en unités anglaises. De même, vous devez exprimer le rayon en unités métriques pour obtenir la distance en kilomètres, mètres, centimètres ou millimètres.
Mesure d'angles en radians
Un radian est une mesure angulaire basée sur la longueur du rayon d'un cercle ou d'une sphère. Le rayon est une ligne tracée du centre du cercle à un point A sur sa circonférence ou sur son périmètre s'il s'agit d'une sphère. Lorsqu'une ligne radiale se déplace du point A à un autre point B de la circonférence, elle trace un arc de longueur d tout en traçant un angle ø au centre du cercle.
Par définition, un radian est l'angle que vous tracez lorsque la longueur de l'arc du point A au point B est égale à la longueur du rayon. En général, vous déterminez l'amplitude de tout angle ø en radians en divisant la longueur de l'arc tracée par les lignes en radian entre deux points par le rayon. C'est l'expression mathématique: (radians) = d/r. Pour que cette expression fonctionne, vous devez exprimer la longueur et le rayon de l'arc dans les mêmes unités.
Par exemple, supposons que vous vouliez déterminer l'angle de l'arc tracé par des lignes radiales s'étendant du centre de la Terre à San Francisco et à New York. Ces deux villes sont distantes de 2 572 milles (4 139 kilomètres) et le rayon équatorial de la Terre est de 3 963 milles (6378 kilomètres). Nous pouvons trouver l'angle à l'aide des unités métriques ou anglaises, à condition de les utiliser de manière cohérente: 2 572 miles/3 963 miles = 4 139 km/6 378 km = 0,649 radians.
Radians en Degrés
Nous pouvons dériver un facteur simple pour convertir des radians en degrés en notant qu'un cercle a 360 degrés et que la circonférence du cercle mesure 2πr unités de longueur. Lorsqu'une ligne radiale trace un cercle entier, la longueur de l'arc est de 2πr/r = 2π, et puisque la ligne trace un angle de 360 degrés, nous savons que 360 degrés = 2π radians. En divisant les deux membres de cette équation par 2, on obtient :
- 180 degrés = π radians
Cela signifie que 1 degré = π/180 radians et 1 radian = 180/π degrés.
Conversion de degrés en longueur d'arc
Nous avons besoin d'une information clé avant de pouvoir convertir les degrés en longueur d'arc, et c'est le rayon du cercle ou de la sphère sur lequel nous mesurons l'arc. Une fois que nous le savons, la conversion est simple. Voici la procédure en deux étapes :
- Convertir des degrés en radians.
- Multipliez par le rayon pour obtenir la longueur de l'arc dans les mêmes unités.
Si vous connaissez le rayon en pouces et que vous voulez la longueur de l'arc en millimètres, vous devez d'abord convertir le rayon en millimètres.
Un exemple de cercle de 50 pouces
Dans cet exemple, vous voulez déterminer la longueur de l'arc – en millimètres – sur le circonférence d'un cercle d'un diamètre de 50 pouces tracé par une paire de lignes qui forment un angle de 30 degrés.
- Commencez par convertir l'angle en radians. 30 degrés = 30π/180 radians. Puisque π est égal à environ 3,14, nous obtenons 0,523 radians.
- Rappelez-vous que le rayon d'un cercle est la moitié de son diamètre. Dans ce cas, r = 25 pouces.
- Convertissez le rayon en unités cibles - millimètres - en utilisant la conversion 1 pouce = 25,4 millimètres. Nous obtenons 25 pouces = 635 millimètres.
- Multipliez le rayon par l'angle en radians pour obtenir la longueur de l'arc. 635 mm • 0,523 radian = 332,1 mm.