La loi des sinus et la loi des cosinus sont des formules trigonométriques reliant les mesures des angles d'un triangle à la longueur de ses côtés. Ils sont dérivés de la propriété que les grands angles des triangles ont des côtés opposés proportionnellement plus grands. Utilisez la loi des sinus ou la loi des cosinus pour calculer les longueurs des côtés d'un triangle et d'un quadrilatère (un quadrilatère est essentiellement deux triangles adjacents) si vous connaissez la mesure d'un côté, un angle et un côté supplémentaire ou d'angle.
Trouvez les données du triangle. Les données sont des longueurs de côtés et des mesures d'angles déjà connues. Vous ne pouvez pas trouver la mesure des longueurs des côtés d'un triangle à moins de connaître la mesure d'un angle, d'un côté et d'un autre côté ou d'un autre angle.
Utilisez les données pour déterminer si le triangle est un triangle ASA, AAS, SAS ou ASS. Un triangle ASA a deux angles comme données ainsi que le côté reliant les deux angles. Un triangle AAS a deux angles et un côté différent comme données. Un triangle SAS a deux côtés comme données ainsi que l'angle formé par les deux côtés. Un triangle ASS a deux côtés et un angle différent comme indiqué.
Utilisez la loi des sinus pour établir une équation reliant les longueurs des côtés s'il s'agit d'un triangle ASA, AAS ou ASS. La loi des sinus stipule que les rapports des sinus des angles d'un triangle et de leurs côtés opposés sont égaux :
\sin \bigg(\frac{A}{a}\bigg) = \sin \bigg(\frac{B}{b}\bigg) = \sin \bigg(\frac{C}{c}\bigg)
oùune, betcsont les côtés opposés des anglesUNE, BetC, respectivement.
Par exemple, si vous savez que deux angles mesurent 40 degrés et 60 degrés et que le côté qui les relie mesure 3 unités de long, vous devez établir l'équation :
\sin \bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{40}{b}\bigg) = \sin \bigg(\frac{60}{c}\bigg)
Vous savez que l'angle opposé au côté de 3 unités de long est de 80 degrés car la somme des angles d'un triangle est de 180 degrés.
Utilisez la loi des cosinus pour établir une équation reliant les longueurs des côtés s'il s'agit d'un triangle SAS. La loi des cosinus stipule que :
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
En d'autres termes, le carré de la longueur du côté c est égal aux carrés des deux autres longueurs de côté moins le produit de ces deux côtés et le cosinus de l'angle opposé au côté inconnu. Par exemple, si les deux côtés étaient 3 unités et 4 unités et que l'angle était de 60 degrés, vous écririez l'équation
c^2 = 3^2 + 4^2 - 34 × \cos 60
Résolvez les variables dans les équations pour trouver les longueurs de triangle inconnues. Résoudre pourbdans l'équation
\sin \bigg(\frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{40}{b}\bigg)
donne la valeur
b = 3 × \frac{\sin (40)}{\sin (80)}
doncbest d'environ 2. Résoudre pourcdans l'équation
\sin \bigg( \frac{80}{3}\bigg) = \sin \bigg(\frac{60}{c}\bigg)
donne la valeur
c = 3 × \frac{\sin (60)}{\sin (80)}
donccest d'environ 2,6. De même, la résolution decdans l'équation
c^2 = 3^2 + 4^2 - 34 × \cos (60)
donne la valeur
c^2 = 25 - 6 \text{ ou } c^2 = 19
donccest d'environ 4,4.