Vous êtes-vous déjà demandé comment les fonctions trigonométriques comme le sinus et le cosinus sont liées? Ils sont tous deux utilisés pour calculer les côtés et les angles des triangles, mais la relation va plus loin que cela.Identités de cofonctiondonnez-nous des formules spécifiques qui montrent comment convertir entre sinus et cosinus, tangente et cotangente, et sécante et cosécante.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complément et vice versa. Ceci est également vrai pour d'autres cofonctions.
Un moyen simple de se rappeler quelles fonctions sont des cofonctions est que deux fonctions trigonométriques sontcofonctionssi l'un d'eux a le préfixe "co-" devant lui. Donc:
- sinus etcoles sinus sontcoles fonctions.
- tangente etcotangente sontcoles fonctions.
- sécante etcosécante sontcoles fonctions.
Nous pouvons calculer des allers-retours entre cofonctions en utilisant cette définition: La valeur d'une fonction d'un angle est égale à la valeur de la cofonction du complément.
Cela semble compliqué, mais au lieu de parler de la valeur d'une fonction en général, utilisons un exemple spécifique. lesinusd'un angle est égal àcosinusde son complément. Et il en va de même pour les autres cofonctions: la tangente d'un angle est égale à la cotangente de son complément.
Rappelez-vous: deux angles sontcomplémentss'ils totalisent 90 degrés.
Identités de cofonction dans les diplômes:
(Remarquez que 90° −Xnous donne un complément d'angle.)
\sin (x) = \cos (90° - x) \\ \cos (x) = \sin (90° - x) \\ \tan (x) = \cot (90° - x) \\ \cot (x) = \tan (90° - x) \\ \sec (x) = \csc (90° - x)\\ \csc (x) = \sec (90° - x)
Identités de cofonction en radians
Rappelez-vous que nous pouvons aussi écrire des choses en termes deradians, qui est l'unité SI pour mesurer les angles. Quatre-vingt-dix degrés équivaut à /2 radians, nous pouvons donc également écrire les identités de cofonction comme ceci :
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cos (x) = \sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \tan (x) = \cot\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cot (x) = \tan\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \sec (x) = \csc\bigg(\frac{ π}{2} - x\bigg)\\ \,\\ \csc (x) = \sec\bigg(\frac{π}{2} - x\gros)
Preuve d'identités de cofonction
Tout cela a l'air bien, mais comment pouvons-nous prouver que c'est vrai? Le tester vous-même sur quelques exemples de triangles peut vous aider à vous sentir en confiance, mais il existe également une preuve algébrique plus rigoureuse. Prouvons les identités de cofonction pour le sinus et le cosinus. Nous allons travailler en radians, mais c'est la même chose qu'en degrés.
Preuve:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x \bigg)
Tout d'abord, remontez loin dans votre mémoire cette formule, car nous allons l'utiliser dans notre preuve :
\cos (A - B) = \cos (A)\cos (B) + \sin (A)\sin (B)
J'ai compris? D'ACCORD. Prouvons maintenant: péché(X) = cos (π/2 − x).
On peut réécrire cos (π/2 −X) comme ça:
\cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) + \sin\bigg(\frac{π }{2}\bigg)\sin (x) \\ \,\\ \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = 0 × \cos (x) + 1 ×\sin ( X)
parce que nous savons
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ et } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Donc
\cos\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) = \sin (x)
Ta-da! Prouvons-le maintenant avec le cosinus !
Preuve:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Un autre souffle du passé: vous vous souvenez de cette formule ?
\sin (A - B) = \sin (A)\cos (B) - \cos (A)\sin (B)
Nous sommes sur le point de l'utiliser. Prouvons maintenant :
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
On peut réécrire sin (π/2 −X) comme ça:
\begin{aligned} \sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) &= \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) - \cos\ bigg(\frac{π}{2}\bigg)\sin (x) \\ &= 1 × \cos (x) - 0 × \sin (x) \end{aligned}
parce que nous savons
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ et } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
On obtient donc
\sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos (x)
Calculateur de cofonction
Essayez vous-même quelques exemples de travail avec des cofonctions. Mais si vous êtes bloqué, Math Celebrity a un calculateur de cofonction qui montre des solutions étape par étape aux problèmes de cofonction.
Bon calcul !