Des triangles similaires ont la même forme mais pas nécessairement la même taille. Lorsque les triangles sont similaires, ils ont bon nombre des mêmes propriétés et caractéristiques. Les théorèmes de similarité des triangles spécifient les conditions dans lesquelles deux triangles sont similaires et traitent des côtés et des angles de chaque triangle. Une fois qu'une combinaison spécifique d'angles et de côtés satisfait les théorèmes, vous pouvez considérer que les triangles sont similaires.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Il existe trois théorèmes de similarité des triangles qui spécifient dans quelles conditions les triangles sont similaires :
- Si deux des angles sont identiques, le troisième angle est le même et les triangles sont similaires.
- Si les trois côtés sont dans les mêmes proportions, les triangles sont semblables.
- Si deux côtés sont dans les mêmes proportions et que l'angle inclus est le même, les triangles sont similaires.
Les théorèmes AA, AAA et angle-angle
Si deux des angles de deux triangles sont les mêmes, les triangles sont similaires. Cela devient clair à partir de l'observation que les trois angles d'un triangle doivent totaliser 180 degrés. Si deux des angles sont connus, le troisième peut être trouvé en soustrayant les deux angles connus de 180. Si les trois angles de deux triangles sont les mêmes, les triangles ont la même forme et sont similaires.
Le théorème SSS ou Side-Side-Side
Si les trois côtés de deux triangles sont identiques, les triangles ne sont pas seulement similaires, ils sont congrus ou identiques. Pour des triangles similaires, les trois côtés de deux triangles doivent seulement être proportionnels. Par exemple, si un triangle a des côtés de 3, 5 et 6 pouces et un deuxième triangle a des côtés de 9, 15 et 18 pouces, chacun des côtés du plus grand triangle est trois fois la longueur de l'un des côtés du plus petit Triangle. Les côtés sont proportionnels les uns aux autres et les triangles sont semblables.
Le théorème SAS ou Side-Angle-Side
Deux triangles sont similaires si deux des côtés de deux triangles sont proportionnels et que l'angle inclus, ou l'angle entre les côtés, est le même. Par exemple, si deux des côtés d'un triangle mesurent 2 et 3 pouces et ceux d'un autre triangle mesurent 4 et 6 pouces, les côtés sont proportionnels, mais les triangles peuvent ne pas être similaires car les deux tiers des côtés pourraient être n'importe longueur. Si l'angle inclus est le même, alors les trois côtés des triangles sont proportionnels et les triangles sont similaires.
Autres combinaisons possibles d'angle-côté
Si l'un des trois théorèmes de similarité des triangles est satisfait pour deux triangles, les triangles sont similaires. Mais il existe d'autres combinaisons possibles d'angles latéraux qui peuvent ou non garantir la similitude.
Pour les configurations connues sous le nom d'angle-angle-côté (AAS), d'angle-côté-angle (ASA) ou d'angle-côté-angle (SAA), la taille des côtés n'a pas d'importance; les triangles seront toujours semblables. Ces configurations se réduisent au théorème angle-angle AA, ce qui signifie que les trois angles sont les mêmes et que les triangles sont similaires.
Cependant, les configurations côté-côté-angle ou angle-côté-côté ne garantissent pas la similitude. (Ne pas confondre côté-angle-côté avec côté-angle-côté; les "côtés" et les "angles" dans chaque nom se réfèrent à l'ordre dans lequel vous rencontrez les côtés et les angles.) Dans certains cas, tels que pour les triangles rectangles, si deux côtés sont proportionnels et que les angles qui ne sont pas inclus sont les mêmes, les triangles sont similaire. Dans tous les autres cas, les triangles peuvent être similaires ou non.
Des triangles similaires s'emboîtent les uns dans les autres, peuvent avoir des côtés parallèles et s'échelonner de l'un à l'autre. Déterminer si deux triangles sont similaires à l'aide des théorèmes de similarité des triangles est important lorsque de telles caractéristiques sont appliquées pour résoudre des problèmes géométriques.