Les cercles sont partout dans le monde réel, c'est pourquoi leurs rayons, diamètres et circonférences sont importants dans les applications réelles. Mais il existe d'autres parties des cercles - secteurs et angles, par exemple - qui ont également une importance dans les applications quotidiennes. Les exemples incluent la taille des secteurs d'aliments circulaires comme les gâteaux et les tartes, l'angle parcouru dans une grande roue, le dimensionnement d'un pneumatique pour un véhicule particulier et notamment le dimensionnement d'une bague pour un engagement ou mariage. Pour ces raisons et plus encore, la géométrie a également des équations et des calculs de problèmes traitant des angles au centre, des arcs et des secteurs d'un cercle.
Quel est l'angle central ?
L'angle central est défini comme l'angle créé par deux rayons ou rayons rayonnant à partir du centre d'un cercle, le centre du cercle étant le sommet de l'angle central. Les angles centraux sont particulièrement pertinents lorsqu'il s'agit de répartir uniformément une pizza ou tout autre aliment à base circulaire entre un nombre défini de personnes. Disons qu'il y a cinq personnes à une soirée où une grande pizza et un grand gâteau doivent être partagés. Quel est l'angle auquel la pizza et le gâteau doivent être divisés pour assurer une tranche égale pour tout le monde? Comme il y a 360 degrés dans un cercle, le calcul devient 360 degrés divisé par 5 pour arriver à 72 degrés, de sorte que chaque tranche, que ce soit de la pizza ou du gâteau, aura un angle central, ou thêta (θ), mesurant 72 degrés.
Détermination de l'angle central à partir de la longueur de l'arc
Un arc de cercle fait référence à une "partie" de la circonférence du cercle. La longueur de l'arc est donc la longueur de cette "partie". Si vous imaginez une part de pizza, la zone du secteur peut être visualisé comme la tranche entière de pizza, mais la longueur de l'arc est la longueur du bord extérieur de la croûte pour cela tranche particulière. A partir de la longueur de l'arc, l'angle au centre peut être calculé. En effet, une formule qui peut aider à déterminer l'angle au centre indique que la longueur de l'arc (s) est égale au rayon multiplié par l'angle au centre, ou
s = r ×
où l'angle, thêta, doit être mesuré en radians. Donc, pour résoudre l'angle au centre, theta, il suffit de diviser la longueur de l'arc par le rayon, ou
\frac{s}{r} =
Pour illustrer, si la longueur de l'arc est de 5,9 et le rayon est de 3,5329, alors l'angle au centre devient 1,67 radians. Un autre exemple est que si la longueur de l'arc est 2 et le rayon est 2, l'angle central devient 1 radian. Si vous souhaitez convertir des radians en degrés, n'oubliez pas que 1 radian équivaut à 180 degrés divisé par π, soit 57,2958 degrés. Inversement, si une équation demande de reconvertir les degrés en radians, multipliez d'abord par π, puis divisez par 180 degrés.
Détermination de l'angle central à partir de la zone du secteur
Une autre formule utile pour déterminer l'angle central est fournie par la zone du secteur, qui à nouveau peut être visualisée comme une tranche de pizza. Cette formule particulière peut être vue de deux manières. Le premier a l'angle central mesuré en degrés de sorte que l'aire du secteur soit égale à π fois la rayon au carré puis multiplié par la quantité de l'angle au centre en degrés divisé par 360 degrés. Autrement dit:
πr^2 × \frac{\text{angle central en degrés}}{360 \text{ degrés}} = \text{zone sectorielle}
Si l'angle au centre est mesuré en radians, la formule devient à la place :
\text{zone sectorielle} = r^2 × \frac{\text{angle central en radians}}{2}
Réorganiser les formules aidera à résoudre la valeur de l'angle central, ou thêta. Considérons une zone de secteur de 52,3 centimètres carrés avec un rayon de 10 centimètres. Quel serait son angle au centre en degrés? Les calculs commenceraient avec une superficie de secteur de 52,3 centimètres carrés étant égale à :
\frac{θ}{360 \text{ degrés}} × πr^2
Puisque le rayon (r) est égal à 10, l'équation entière peut s'écrire sous la forme :
\frac{52.3}{100π} × 360
de sorte que thêta s'écrit :
\frac{52.3}{314} × 360
Ainsi, la réponse finale devient un angle central de 60 degrés.