La racine cubique tire son nom de la géométrie. Un cube est une figure tridimensionnelle avec des côtés égaux, et chaque côté est la racine cubique du volume. Pour voir pourquoi cela est vrai, réfléchissez à la façon dont vous déterminez le volume (V) d'un cube. Vous multipliez la longueur par la largeur et aussi par la profondeur. Puisque les trois sont égaux, cela équivaut à multiplier la longueur d'un côté (je) par lui-même deux fois: Volume = (je × je × je) = je3. Si vous connaissez le volume du cube, la longueur de chaque côté est donc la racine cubique du volume :
l = \sqrt[3]{V}
En d'autres termes, la racine cubique d'un nombre est un deuxième nombre qui, multiplié par lui-même deux fois, produit le nombre original. Les mathématiciens représentent la racine cubique avec un signe radical précédé d'un exposant 3.
Comment trouver la racine cubique: une astuce
Les calculatrices scientifiques incluent généralement une fonction qui affiche automatiquement la racine cubique de n'importe quel nombre, et c'est une bonne chose, car trouver la racine cubique d'un nombre aléatoire n'est généralement pas facile. Cependant, si la racine cubique est un entier non fractionnaire compris entre 1 et 100, une astuce simple permet de la trouver facilement. Pour que cette astuce fonctionne, cependant, vous devez cuber les nombres entiers de 1 à 10, créer un tableau et mémoriser les valeurs.
Multipliez 1 par lui-même deux fois et la réponse est toujours 1, donc la racine cubique de 1 est 1. Multipliez 2 par lui-même deux fois, et la réponse est 8, donc la racine cubique de 8 est 2. De même, la racine cubique de 27 est 3, la racine cubique de 64 est 4 et la racine cubique de 125 est 5. Vous pouvez continuer cette procédure de 6 à 10 pour trouver
\sqrt[3]{216}=6\\ \sqrt[3]{343}=7 \\ \sqrt[3]{512}=8 \\ \sqrt[3]{729}=9 \\ \sqrt [3]{1000}=10
Une fois que vous avez mémorisé ces valeurs, le reste de la procédure est simple. Le dernier chiffre du numéro d'origine correspond au dernier chiffre du numéro que vous recherchez, et vous trouvez le premier chiffre de la racine cubique en regardant les trois premiers chiffres de l'original numéro.
Qu'est-ce que la racine cubique de 3 ?
En général, la méthode la plus fiable pour trouver la racine cubique d'un nombre aléatoire est l'essai et l'erreur. Faites votre meilleure estimation, cubez ce nombre et voyez à quel point il est proche du nombre pour lequel vous essayez de trouver la racine cubique, puis affinez votre estimation.
Par exemple, vous savez 3√3 doit être compris entre 1 et 2, car 13 = 1 et 23 = 8. Essayez de multiplier 1,5 par lui-même deux fois, et vous obtenez 3,375. C'est trop élevé. Si vous multipliez 1,4 par lui-même deux fois, vous obtenez 2,744, ce qui est trop faible. Il s'avère 3√3 est un nombre irrationnel et précis à six décimales près, il s'agit de 1,442249. Parce que c'est irrationnel, aucune quantité d'essais et d'erreurs ne produira un résultat complètement précis. Soyez reconnaissant pour votre calculatrice!
Qu'est-ce que la racine cubique de 81 ?
Vous pouvez souvent simplifier les grands nombres en factorisant les petits nombres. C'est le cas lors de la recherche de la racine cubique de 81. Vous pouvez diviser 81 par 3 pour obtenir 27, puis diviser à nouveau par 3 pour obtenir 9, et diviser à nouveau par 3 pour obtenir 3. De cette façon:
\sqrt[3]{81} =\sqrt[3]{3 × 3 × 3 × 3}
Supprimez les trois premiers 3 du signe radical, et vous vous retrouvez avec
\sqrt[3]{81} = 3 \sqrt[3]{3}
\sqrt[3]{3} = 1,442249 \\ \text{donc }\sqrt[3]{81} = 3 × 1,442249 = 4,326747
qui est aussi un nombre irrationnel.
Exemples
1. Qu'est-ce que
\sqrt[3]{150} = ?
Noter que
\sqrt[3]{125} = 5 \text{ et } \sqrt[3]{216} = 6
donc le nombre que vous recherchez est compris entre 5 et 6, et plus proche de 5 que 6. (5.4)3 = 157,46, ce qui est trop élevé, et (5,3)3 est de 148,88, ce qui est légèrement trop bas. (5.35)3 = 153,13 est trop élevé. (5.31)3 = 149,72 est trop faible. En poursuivant ce processus, vous trouvez la valeur correcte, précise à six décimales près: 5,313293.
2. Qu'est-ce que
\sqrt[3]{1,029}=?
C'est toujours une bonne idée de rechercher des facteurs en grand nombre. Dans ce cas, il s'avère que 1029 7 = 147; 147 7 = 21 et 21 7 = 3. On peut donc réécrire 1029 sous la forme (7 × 7 × 7 × 3), et on obtient :
\sqrt[3]{1029}=7\sqrt[3]{3} = 10.095743
3. Qu'est-ce que
\sqrt[3]{-27}
Contrairement aux racines carrées des nombres négatifs, qui sont imaginaires, les racines cubiques sont simplement négatives. Dans ce cas, la réponse est -3.