Si vous voyez les expressions 32 et 53, vous pourriez annoncer en fanfare que ceux-ci signifient "trois au carré" et "cinq au cube", et être capable de trouver des nombres équivalents sans exposants, les nombres représentés par les exposants en haut à droite ci-dessus. Ces nombres dans ce cas sont 9 et 125.
Mais que se passe-t-il si, au lieu de, disons, une simple fonction exponentielle telle que y = x 3, vous devez plutôt résoudre une équation telle que y = 3X. Ici, x, la variable dépendante, apparaît comme un exposant. Existe-t-il un moyen de retirer cette variable de son emplacement pour la traiter plus facilement mathématiquement ?
En fait, il y en a, et la réponse réside dans le complément naturel des exposants, qui sont des quantités amusantes et utiles connues sous le nom de logarithmes.
Que sont les exposants ?
Un exposant, aussi appelé un Puissance, est un moyen compressé d'exprimer les multiplications répétées d'un nombre par lui-même. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Tout nombre élevé à la puissance 1 garde la même valeur; tout nombre avec un exposant de 0 est égal à 1. Par exemple, 72 1 = 72; 720 = 1.
Les exposants peuvent être négatifs, produisant la relation X−n= 1/(xm). Ils peuvent également être exprimés sous forme de fractions, par exemple, 2(5/3). S'ils sont exprimés sous forme de fractions, le numérateur et le dénominateur doivent être des nombres entiers.
Que sont les logarithmes ?
Les logarithmes, ou « logs », peuvent être considérés comme des exposants exprimés autrement qu'une puissance. Cela n'aide probablement pas beaucoup, alors peut-être qu'un exemple ou deux le seront.
Dans l'expression 103 = 1,000, le nombre 10 est le base, et il est élevé à la troisième puissance (ou le pouvoir de Trois). Vous pouvez exprimer cela comme « la base de 10 élevée à la troisième puissance est égale à 1 000 ».
Un exemple de logarithme est Journal10(1,000) = 3. Notez que les nombres et leurs relations entre eux sont les mêmes que dans l'exemple précédent, mais ils ont été déplacés. En mots, cela signifie « le journal de base 10 de 1 000 est égal à 3 ».
La quantité à droite est la puissance à laquelle la base de 10 doit être élevée pour égaler la argument, ou saisie du journal, la valeur entre parenthèses (ici 1000). Cette valeur doit être positive, car la base - qui peut être un nombre autre que 10, mais qui est supposé être 10 lorsqu'elle est omise, par exemple "log 4" - est également toujours positive.
Règles de logarithme utiles
Alors, comment pouvez-vous travailler facilement entre les journaux et les exposants? Quelques règles sur le comportement des journaux peuvent vous aider à démarrer sur les problèmes d'exposant.
log_{b}(xy) = log_{b}{x} + log_{b}y log_{b}(\dfrac{x}{y}) = log_{b}{x} \text{ − }log_{ b}y log_{b}(x^A) = A⋅log_{b}(x) log_{b}(\dfrac{1}{y}) = −log_{b}(y)
Résolution d'un exposant
Avec les informations ci-dessus, vous êtes prêt à essayer de résoudre un exposant dans une équation.
Exemple: Si 50 = 4X, qu'est-ce que x ?
Si vous prenez le log à la base 10 de chaque côté et omettez l'identification explicite de la base, cela devient log 50 = log 4X. D'après la case ci-dessus, vous savez que log 4X = x log4. Cela vous laisse avec
log 50 = x log 4, ou x = (log 50)/(log 4).
À l'aide de votre calculatrice ou appareil électronique de votre choix, vous constatez que la solution est (1,689/0,602) = 2.82.
Résolution d'équations exponentielles avec e
Les mêmes règles s'appliquent lorsque la base est e, la dite un algorithme naturel, qui a une valeur d'environ 2,7183. Vous devriez également avoir un bouton pour cela sur votre calculatrice. Cette valeur a également sa propre notation: logex s'écrit simplement "ln x".
- La fonction y = eX i, avec e non pas une variable mais une constante avec cette valeur, est la seule fonction avec une pente égale à sa propre hauteur pour tout x et y.
- Tout comme log1010X = x, ln eX = x pour tout x.
Exemple: Résoudre l'équation 16 = e2,7x.
Comme ci-dessus, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, donc x = 2/77/2,7 = 1.03.