La somme des carrés est un outil que les statisticiens et les scientifiques utilisent pour évaluer la variance globale d'un ensemble de données par rapport à sa moyenne. Une grande somme de carrés dénote une grande variance, ce qui signifie que les lectures individuelles fluctuent largement par rapport à la moyenne.
Ces informations sont utiles dans de nombreuses situations. Par exemple, un écart important dans les lectures de la pression artérielle sur une période de temps spécifique pourrait indiquer une instabilité du système cardiovasculaire nécessitant des soins médicaux. Pour les conseillers financiers, un écart important dans les valeurs boursières quotidiennes signifie une instabilité du marché et des risques plus élevés pour les investisseurs. Lorsque vous prenez la racine carrée de la somme des carrés, vous obtenez l'écart type, un nombre encore plus utile.
Trouver la somme des carrés
Le nombre de mesures est la taille de l'échantillon. Désignez-le par la lettre "m."
La moyenne est la moyenne arithmétique de toutes les mesures. Pour le trouver, vous ajoutez toutes les mesures et divisez par la taille de l'échantillon,
m.Les nombres supérieurs à la moyenne produisent un nombre négatif, mais cela n'a pas d'importance. Cette étape produit une série de n écarts individuels par rapport à la moyenne.
Quand on carré un nombre, le résultat est toujours positif. Vous avez maintenant une série de n nombres positifs.
Cette dernière étape produit la somme des carrés. Vous avez maintenant une variance standard pour la taille de votre échantillon.
Écart-type
Les statisticiens et les scientifiques ajoutent généralement une étape supplémentaire pour produire un nombre ayant les mêmes unités que chacune des mesures. L'étape consiste à prendre la racine carrée de la somme des carrés. Ce nombre est l'écart type, et il désigne la quantité moyenne de chaque mesure déviée de la moyenne. Les nombres en dehors de l'écart type sont soit anormalement élevés, soit anormalement bas.
Exemple
Supposons que vous mesuriez la température extérieure tous les matins pendant une semaine pour avoir une idée de la fluctuation de la température dans votre région. Vous obtenez une série de températures en degrés Fahrenheit qui ressemble à ceci :
Lun: 55, Mar: 62, Mer: 45, Jeudi: 32, Ven: 50, Sam: 57, Dim: 54
Pour calculer la température moyenne, additionnez les mesures et divisez par le nombre que vous avez enregistré, qui est 7. Vous trouvez que la moyenne est de 50,7 degrés.
Calculez maintenant les écarts individuels par rapport à la moyenne. Cette série est :
50.7 - 55 = -4.3 \\ 50.7 -62 = −11.3 \\ 50.7 -45 = 5.7 \\ 50.7 - 32 = 18.7 \\ 50.7 -50 = 0.7 \\ 50.7 - 57 = −6.3 \\ 50.7 - 54 = −2.3
Carré chaque nombre :
-4.3^2 = 18.49 \\ −11.3^2 = 127.69 \\ 5.7^2 = 32.49\\ 18.7^2 = 349.69 \\ 0.7^2 = 0.49\\ −6.3^2 = 39.69 \\ −2.3^2 = 5.29
Additionnez les nombres et divisez par (m− 1) = 6 pour obtenir 95,64. C'est la somme des carrés pour cette série de mesures. L'écart type est la racine carrée de ce nombre, ou 9,78 degrés Fahrenheit.
C'est un nombre assez important, qui vous indique que les températures ont pas mal varié au cours de la semaine. Il vous indique également que mardi était exceptionnellement chaud tandis que jeudi était exceptionnellement froid. Vous pourriez probablement le ressentir, mais maintenant vous avez une preuve statistique.