Si vous faites des mathématiques depuis un certain temps, vous avez probablement rencontré des exposants. Un exposant est un nombre, appelé base, suivi d'un autre nombre généralement écrit en exposant. Le deuxième nombre est l'exposant ou la puissance. Il vous indique combien de fois multiplier la base par elle-même. Par exemple, 82 signifie multiplier 8 par lui-même deux fois pour obtenir 16, et 103 signifie 10 × 10 × 10 = 1 000. Lorsque vous avez des exposants négatifs, la règle des exposants négatifs dicte qu'au lieu de multiplier la base le nombre de fois indiqué, vous divisez la base en 1 ce nombre de fois. Donc
8^{ -2} = \frac{1}{8 × 8} = \frac{1}{64} \text{ et } 10^{-3} = \frac{1}{10 × 10 × 10} = \frac{1}{1000} = 0,001
Il est possible d'exprimer une généralisation exposant négatif définition en écrivant :
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Pour multiplier par un exposant négatif, soustrayez cet exposant. Pour diviser par un exposant négatif, ajoutez cet exposant.
Multiplication des exposants négatifs
En gardant à l'esprit que vous ne pouvez multiplier des exposants que s'ils ont la même base, la règle générale pour multiplier deux nombres élevés en exposants consiste à additionner les exposants. Par example:
x^5 × x^3 = x^{(5 +3)} = x^8
Pour voir pourquoi cela est vrai, notez queX5 moyens (X × X × X × X × X) etX3 moyens (X × X × X). Lorsque vous multipliez ces termes, vous obtenez (X × X × X × X × X × X × X × X) = X8.
Un exposant négatif signifie diviser la base élevée à cette puissance en 1. Donc
x^5 × x^{ -3} = x^5 × \frac{1}{x^3} = (x × x × x × x × x) × \frac{1}{x × x × x}
Il s'agit d'une division simple. Vous pouvez annuler trois des x, en laissant (x × x) ou x2. En d'autres termes, lorsque vous multipliez par un exposant négatif, vous ajoutez toujours l'exposant, mais comme il est négatif, cela équivaut à le soustraire. En général,
x^n × x^{-m} = x^{(n - m)}
Division des exposants négatifs
Selon la définition d'un exposant négatif :
x^{-n} = \frac{1}{x^n}
Lorsque vous divisez par un exposant négatif, cela équivaut à multiplier par le même exposant, uniquement positif. Pour voir pourquoi cela est vrai, considérez
\frac{1}{x^{-n}} = \frac{1}{1/x^n} = x^n
Par exemple, le nombre
\frac{x^5}{x^{-3}} = x^5 × x^3
Vous ajoutez les exposants pour obtenirX8. La règle est :
\frac{x^n}{x^{-m}} = x^{(n + m)}
Exemples
1. Simplifier
x^5y^4 × x^{-2}y^2
Collecte des exposants :
x^{(5 - 2)}y^{(4 +2)} = x^3y^6
Vous ne pouvez manipuler les exposants que s'ils ont la même base, vous ne pouvez donc pas simplifier davantage.
2. Simplifier
\frac{x^3y^{-5}}{x^2 y^{-3 }}
Diviser par un exposant négatif équivaut à multiplier par le même exposant positif, vous pouvez donc réécrire cette expression :
\begin{aligned} \frac{(x^3y^{-5}) × y^3}{ x^2} &= x^{(3 - 2)}y^{(-5 + 3)} \ \ &= xy^{-2} \\ &=\frac{x}{y^2} \end{aligné}
3. Simplifier
\frac{x^0y^2}{xy^{-3}}
Tout nombre élevé à un exposant de 0 est 1, vous pouvez donc réécrire cette expression pour lire :
x^{-1}y^{(2 + 3)} =\frac{y^5}{x}