Avec le Super Bowl qui approche à grands pas, les athlètes et les fans du monde entier se concentrent fermement sur le grand match. Mais pour _math_letes, le gros jeu peut faire penser à un petit problème relatif aux scores possibles dans un match de football. Avec seulement des options limitées pour le nombre de points que vous pouvez marquer, certains totaux ne peuvent tout simplement pas être atteints, mais quel est le plus élevé? Si vous voulez savoir ce qui relie les pièces de monnaie, le football et les pépites de poulet McDonald's, c'est un problème pour vous.
Le problème mathématique du Super Bowl
Le problème concerne les scores possibles que les Rams de Los Angeles ou les Patriots de la Nouvelle-Angleterre pourraient éventuellement obtenir dimanche sans pour autant une sécurité ou une conversion en deux points. En d'autres termes, les moyens autorisés d'augmenter leurs scores sont des buts sur le terrain à 3 points et des touchés à 7 points. Ainsi, sans sécurité, vous ne pouvez pas obtenir un score de 2 points dans un jeu avec n'importe quelle combinaison de 3 et de 7. De même, vous ne pouvez pas non plus obtenir un score de 4, ni un score de 5.
La question est: Quel est le score le plus élevé que ne peut pas être atteint avec seulement des paniers à 3 points et des touchés à 7 points ?
Bien sûr, les touchés sans conversion valent 6, mais comme vous pouvez y arriver avec deux buts sur le terrain de toute façon, peu importe le problème. De plus, puisque nous traitons ici de mathématiques, vous n'avez pas à vous soucier des tactiques de l'équipe spécifique ou même des limites de sa capacité à marquer des points.
Essayez de résoudre ce problème vous-même avant de passer à autre chose !
Trouver une solution (la voie lente)
Ce problème a des solutions mathématiques complexes (voir Ressources pour plus de détails, mais le résultat principal sera présenté ci-dessous), mais c'est un bon exemple de la façon dont ce n'est pas le cas. nécessaire pour trouver la réponse.
Tout ce que vous avez à faire pour trouver une solution de force brute est d'essayer simplement chacun des scores à tour de rôle. Nous savons donc que vous ne pouvez pas marquer 1 ou 2, car ils sont inférieurs à 3. Nous avons déjà établi que 4 et 5 ne sont pas possibles, mais 6 l'est, avec deux field goal. Après 7 (ce qui est possible), pouvez-vous marquer 8? Nan. Trois paniers donnent 9, et un panier et un touché converti font 10. Mais vous ne pouvez pas en obtenir 11.
A partir de là, un petit travail montre que :
\begin{aligné} 3 × 4 &= 12\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\ 7 × 2 &= 14\\ 3 × 5 &= 15\\ 7 + (3 × 3) &= 16\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \end{aligné}
Et en fait, vous pouvez continuer comme ça aussi longtemps que vous le souhaitez. La réponse semble être 11. Mais est-ce?
La solution algébrique
Les mathématiciens appellent ces problèmes « problèmes de pièces de monnaie de Frobenius ». La forme originale liée aux pièces, telle que: Si vous n'aviez que des pièces valorisées 4 cents et 11 cents (pas de vraies pièces, mais encore une fois, ce sont des problèmes de mathématiques pour vous), quelle est la plus grande somme d'argent que vous ne pourriez pas produire.
La solution, en termes d'algèbre, est qu'avec un score valant p points et un score vaut q points, le score le plus élevé que vous ne pouvez pas obtenir (N) est donné par:
N = pq \; – \;(p + q)
Donc, brancher les valeurs du problème du Super Bowl donne :
\begin{aligné} N &= 3 × 7\; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10\\ &= 11 \end{aligné}
Quelle est la réponse que nous avons obtenue lentement. Et si vous ne pouviez marquer que des touchés sans conversion (6 points) et des touchés avec des conversions d'un point (7 points)? Voyez si vous pouvez utiliser la formule pour le calculer avant de continuer à lire.
Dans ce cas, la formule devient :
\begin{aligné} N &= 6 × 7\; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13\\ &= 29 \end{aligné}
Le problème du poulet McNugget
Le jeu est donc terminé et vous souhaitez récompenser l'équipe gagnante avec un voyage chez McDonald's. Mais ils ne vendent des McNuggets que par boîtes de 9 ou 20. Alors, quel est le plus grand nombre de pépites que vous ne peut pas acheter avec ces numéros de boîte (obsolètes)? Essayez d'utiliser la formule pour trouver la réponse avant de continuer.
Depuis
N = pq \; – \;(p + q)
Et avec p = 9 et q = 20:
\begin{aligné} N &= 9 × 20\; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29\\ &= 151 \end{aligné}
Donc, à condition que vous achetiez plus de 151 pépites - l'équipe gagnante aura probablement assez faim, après tout - vous pouvez acheter autant de pépites que vous le souhaitez avec une combinaison de boîtes.
Vous vous demandez peut-être pourquoi nous n'avons couvert que les versions à deux chiffres de ce problème. Et si on incorporait des sécurités, ou si McDonalds vendait trois tailles de boîtes à pépites? Il y a pas de formule claire dans ce cas, et bien que la plupart des versions puissent être résolues, certains aspects de la question ne sont pas du tout résolus.
Alors peut-être que lorsque vous regardez le match ou que vous mangez des morceaux de poulet de la taille d'une bouchée, vous pouvez prétendre que vous essayez de résoudre un problème ouvert en mathématiques - cela vaut la peine d'essayer de sortir des corvées !