Le calcul de la trajectoire d'une balle sert d'introduction utile à certains concepts clés de la physique classique, mais il permet également d'inclure des facteurs plus complexes. Au niveau le plus élémentaire, la trajectoire d'une balle fonctionne exactement comme la trajectoire de tout autre projectile. La clé consiste à séparer les composantes de la vitesse dans les axes (x) et (y) et à utiliser l'accélération constante due à la gravité pour déterminer jusqu'où la balle peut voler avant de toucher le sol. Cependant, vous pouvez également incorporer la traînée et d'autres facteurs si vous souhaitez une réponse plus précise.
Ignorez la résistance au vent pour calculer la distance parcourue par une balle en utilisant la formule simple :
x=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}
Où (v0x) est sa vitesse de départ, (h) est la hauteur à partir de laquelle il est tiré et (g) est l'accélération due à la gravité.
Cette formule intègre la traînée :
x=v_{0x}t-\frac{C\rho A v^2t^2}{2m}
Ici, (C) est le coefficient de traînée de la balle, (ρ) est la densité de l'air, (A) est la surface de la balle, (t) est le temps de vol et (m) est la masse de la balle.
Le contexte: (x) et (y) composantes de la vitesse
Le point principal que vous devez comprendre lors du calcul des trajectoires est que les vitesses, les forces ou tout autre "vecteur" (qui a une direction ainsi qu'une force) peuvent être divisé en « composants ». Si quelque chose se déplace à un angle de 45 degrés par rapport à l'horizontale, pensez-y comme se déplaçant horizontalement avec une certaine vitesse et verticalement avec une certaine la vitesse. La combinaison de ces deux vitesses et la prise en compte de leurs différentes directions vous donnent la vitesse de l'objet, y compris à la fois la vitesse et la direction qui en résulte.
Utilisez les fonctions cos et sin pour séparer les forces ou les vitesses en leurs composants. Si quelque chose se déplace à une vitesse de 10 mètres par seconde à un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale, la composante x de la vitesse est :
v_x=v\cos{\theta}=(10\text{ m/s})\cos{30}=8.66\text{ m/s}
Où (v) est la vitesse (c'est-à-dire 10 mètres par seconde), et vous pouvez mettre n'importe quel angle à la place du (θ) en fonction de votre problème. La composante (y) est donnée par une expression similaire :
v_y=v\sin{\theta}=(10\text{ m/s})\sin{30}=5\text{ m/s}
Ces deux composants constituent la vélocité d'origine.
Trajectoires de base avec les équations d'accélération constante
La clé de la plupart des problèmes impliquant des trajectoires est que le projectile cesse d'avancer lorsqu'il touche le sol. Si la balle est tirée à 1 mètre dans les airs, lorsque l'accélération due à la gravité la fait descendre de 1 mètre, elle ne peut pas aller plus loin. Cela signifie que la composante y est la chose la plus importante à considérer.
L'équation du déplacement de la composante y est :
y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
L'indice « 0 » signifie la vitesse de départ dans la direction (y), (t) signifie le temps et (g) signifie l'accélération due à la gravité, qui est de 9,8 m/s2. Nous pouvons simplifier cela si la balle est tirée parfaitement horizontalement, donc elle n'a pas de vitesse dans la direction (y). Cela laisse :
y=-\frac{1}{2}gt^2
Dans cette équation, (y) signifie le déplacement depuis la position de départ, et nous voulons savoir combien de temps il faut à la balle pour tomber de sa hauteur de départ (h). En d'autres termes, nous voulons
y=-h=-\frac{1}{2}gt^2
Que vous réorganisez pour :
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}
C'est le temps de vol de la balle. Sa vitesse d'avancement détermine la distance qu'il parcourt, et ceci est donné par :
x=v_{0x}t
Où la vitesse est la vitesse à laquelle elle quitte le canon. Cela ignore les effets de la traînée pour simplifier les calculs. En utilisant l'équation pour (t) trouvée il y a un instant, la distance parcourue est :
x=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}
Pour une balle qui tire à 400 m/s et qui est tirée à 1 mètre de haut, cela donne :
x=(400\text{ m/s})\sqrt{\frac{2(1\text{ m})}{9.8\text{ m/s}^2}}=180,8\text{ m}
La balle parcourt donc environ 181 mètres avant de toucher le sol.
Incorporer la traînée
Pour une réponse plus réaliste, faites glisser dans les équations ci-dessus. Cela complique un peu les choses, mais vous pouvez le calculer assez facilement si vous trouvez les informations requises sur votre balle, la température et la pression où elle est tirée. L'équation de la force due à la traînée est :
F_{drag}=\frac{-C\rho Av^2}{2}
Ici (C) représente le coefficient de traînée de la balle (vous pouvez trouver pour une balle spécifique, ou utiliser C = 0,295 comme chiffre général), ρ est la densité de l'air (environ 1,2 kg/mètre cube à pression et température normales), (A) est la section transversale d'une balle (vous pouvez calculer cela pour une balle spécifique ou simplement utiliser A = 4,8 × 10−5 m2, la valeur pour un calibre .308) et (v) est la vitesse de la balle. Enfin, vous utilisez la masse de la balle pour transformer cette force en une accélération à utiliser dans l'équation, qui peut être considérée comme m = 0,016 kg à moins que vous n'ayez une balle spécifique en tête.
Cela donne une expression plus compliquée pour la distance parcourue dans la direction (x):
x=v_{0x}t-\frac{C\rho A v^2t^2}{2m}
C'est compliqué car techniquement, la traînée réduit la vitesse, ce qui à son tour réduit la traînée, mais vous pouvez simplifier les choses en calculant simplement la traînée en fonction de la vitesse initiale de 400 m/s. En utilisant un temps de vol de 0,452 s (comme précédemment), cela donne :
x=(400\text{ m/s})(0.452\text{ s})-\frac{(0.295)(1.2\text{ kg/m}^3)(4.8\times10^{-5}\text { m}^2)(400\texte{ m/s})^2(0.452\text{ s})^2}{2(0.016\text{ kg})}\\=180.8\text{ m}-\frac{0.555\text{ kgm}}{0.032\text{ kg}}\\=180.8\ texte{ m}-17,3\text{ m}\\=163,5\text{ m}
Ainsi, l'ajout de traînée modifie l'estimation d'environ 17 mètres.