Tous les mouvements oscillants – le mouvement d'une corde de guitare, une tige vibrant après avoir été frappée ou le rebond d'un poids sur un ressort – ont une fréquence naturelle. La situation de base pour le calcul implique une masse sur un ressort, qui est un simple oscillateur harmonique. Pour les cas plus compliqués, vous pouvez ajouter les effets d'amortissement (le ralentissement des oscillations) ou construire des modèles détaillés avec des forces motrices ou d'autres facteurs pris en compte. Cependant, le calcul de la fréquence naturelle pour un système simple est facile.
La fréquence naturelle d'un oscillateur harmonique simple définie
Imaginez un ressort avec une boule attachée au bout avec une massem. Lorsque l'installation est à l'arrêt, le ressort est partiellement étiré et l'ensemble de l'installation est à la position d'équilibre où la tension du ressort étendu correspond à la force de gravité tirant la balle vers le bas. Éloigner la balle de cette position d'équilibre ajoute de la tension au ressort (si vous l'étirez vers le bas) ou donne gravité la possibilité de tirer la balle vers le bas sans que la tension du ressort ne la contrecarre (si vous poussez la balle vers le haut). Dans les deux cas, la balle se met à osciller autour de la position d'équilibre.
La fréquence propre est la fréquence de cette oscillation, mesurée en hertz (Hz). Cela vous indique combien d'oscillations se produisent par seconde, ce qui dépend des propriétés du ressort et de la masse de la balle qui y est attachée. Des cordes de guitare pincées, des tiges heurtées par un objet et de nombreux autres systèmes oscillent à une fréquence naturelle.
Calcul de la fréquence naturelle
L'expression suivante définit la fréquence naturelle d'un oscillateur harmonique simple :
f=\frac{\omega}{2\pi}
Oùωest la fréquence angulaire de l'oscillation, mesurée en radians/seconde. L'expression suivante définit la fréquence angulaire :
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
Cela signifie donc :
f=\frac{\sqrt{k/m}}{2\pi}
Ici,kest la constante de ressort pour le ressort en question etmest la masse de la balle. La constante de ressort est mesurée en Newtons/mètre. Les ressorts avec des constantes plus élevées sont plus rigides et nécessitent plus de force pour s'étendre.
Pour calculer la fréquence naturelle à l'aide de l'équation ci-dessus, commencez par trouver la constante de ressort pour votre système spécifique. Vous pouvez trouver la constante de ressort pour des systèmes réels en expérimentant, mais pour la plupart des problèmes, une valeur vous est attribuée. Insérez cette valeur dans l'emplacement pourk(dans cet exemple,k= 100 N/m), et divisez-le par la masse de l'objet (pour l'exemple,m= 1kg). Ensuite, prenez la racine carrée du résultat, avant de la diviser par 2π. En passant par les étapes :
\begin{aligned} f&=\frac{\sqrt{k/m}}{2\pi}\\&=\frac{\sqrt{100/1}}{2\pi}\\&=\frac{ 10}{2\pi}\\&=1.6\text{ Hz}\end{aligned}
Dans ce cas, la fréquence naturelle est de 1,6 Hz, ce qui signifie que le système oscillerait un peu plus d'une fois et demie par seconde.