Comment trouver dy/dx par différenciation implicite étant donné une équation similaire à y=sin (xy)

La différenciation implicite est une technique utilisée pour déterminer la dérivée d'une fonction sous la forme y = f (x).

Pour apprendre à utiliser la différenciation implicite, nous pouvons utiliser la méthode sur un exemple simple puis explorer des cas plus complexes.

Bien que cela semble plus compliqué, la différenciation implicite utilise toutes les mêmes mathématiques et compétences que la différenciation de base. La chose importante à noter, cependant, est que notre variable dépendante apparaît maintenant dans la fonction elle-même.

Prenons une équation simple telle que xy = 1. Il y a deux façons de trouver la dérivée de oui en ce qui concerne X, ou dy/dx. Tout d'abord, nous pouvons simplement résoudre pour oui dans l'équation et utilisez la règle de puissance pour les dérivées. Faire cela donnerait: y = 1/x. L'application de la règle de puissance révélerait donc que dy/dx = -1/x².

Nous pouvons également résoudre ce problème en utilisant la différenciation implicite. Heureusement, nous connaissons déjà la réponse (elle devrait être la même quelle que soit la façon dont nous la calculons), nous pouvons donc vérifier notre travail !

Pour commencer, appliquez la dérivée des deux côtés de l'équation xy = 1. Alors, d/dx (xy) = d/dx (1); clairement le côté droit est maintenant égal à 0, mais le côté gauche nécessite la règle de la chaîne. C'est parce que nous prenons la dérivée de notre fonction, oui, tandis qu'il est multiplié par un autre facteur de X. Pour calculer ceci: d/dx (x) y + x (d/dx (y)) = y + xy'. Nous utiliserons la notation première pour indiquer une dérivée par rapport à X.

La réécriture de notre équation donne: y + xy' = 0. Il est temps de résoudre vous dans notre équation! Clairement, y' = -y/x. Mais en utilisant les informations d'origine, nous savons que y = 1/x, nous pouvons donc les remplacer. Une fois que nous faisons cela, nous voyons que y' = -1/x², tout comme nous l'avons trouvé avant.

Pour déterminer la dérivée de y = sin (xy), on utilisera la différentiation implicite en se rappelant que (d/dx) y = y'.

Tout d'abord, appliquez la dérivée aux deux membres de l'équation: d/dx (y) = d/dx (sin (xy)). Le côté gauche de l'équation est clairement vous, c'est ce que nous devrons résoudre, mais le côté droit demandera un peu de travail; plus précisément, la règle de la chaîne et la règle du produit. Tout d'abord, la règle de la chaîne doit être appliquée à sin (xy), puis la règle du produit pour l'argument xy. Heureusement, nous avons déjà calculé cette règle de produit.

Ensuite, en simplifiant cela donne: y' = cos (xy)(y + xy').

Il est clair que cette équation doit être résolue pour vous afin de déterminer comment vous est liée à X et oui.

Isoler tous les termes avec vous d'un côté: y' - xy'cos (xy) = ycos (xy).

Puis factorisez le vous pour obtenir: y'(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

On voit maintenant que y' = ycos (xy)/(1-xcos (xy)).

Une simplification supplémentaire peut être nécessaire, mais comme notre fonction est définie de manière récursive, brancher y = sin (xy) ne donnera probablement pas une solution satisfaisante. Dans ce cas, plus d'informations ou une méthode plus sophistiquée pour tracer ces équations peuvent être utiles.

Tout d'abord, rappelez-vous que la différenciation implicite repose sur le fait que l'une des variables est fonction de l'autre. Généralement, nous voyons les fonctions comme y = f (x), mais on pourrait écrire une fonction x = f (y). Soyez prudent lorsque vous abordez ces problèmes pour déterminer quelle variable dépend de l'autre.

Ensuite, n'oubliez pas d'appliquer soigneusement les règles dérivées. La différenciation implicite nécessitera très souvent la règle de la chaîne, ainsi que la règle du produit et la règle du quotient. L'application correcte de ces méthodes sera essentielle pour déterminer la réponse finale.

Enfin, résolvez la dérivée souhaitée en l'isolant et en simplifiant les expressions autant que possible.