Neliöjuuren yhtälön ratkaiseminen

Luvun neliöjuuri on arvo, joka kerrotaan itsestään, antaa alkuperäisen luvun. Esimerkiksi neliöjuuri 0 on 0, neliöjuuri 100 on 10 ja neliöjuuri 50 on 7,071. Joskus voit selvittää tai yksinkertaisesti muistaa numeron neliöjuuren, joka itsessään on "täydellinen neliö", joka on kokonaisluvun tulo kerrottuna itsestään; kun edistyt opintojesi aikana, saat todennäköisesti kehittää henkisen luettelon näistä numeroista (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Neliöjuuret sisältävät ongelmat ovat välttämättömiä tekniikassa, laskennassa ja käytännöllisesti katsoen jokaisessa modernin maailman valtakunnassa. Vaikka voit helposti löytää neliöjuureyhtälön laskimia verkossa (katso esimerkki Resursseista), neliöjuureyhtälöiden ratkaiseminen on algebran taito, koska sen avulla voit tutustua radikaalien käyttöön ja työskennellä useiden ongelmatyyppien kanssa neliöjuurien ulkopuolella sinänsä.

Se, että kahden negatiivisen luvun kertominen yhdessä tuottaa positiivisen luvun, on tärkeä neliöjuurimaailmassa, koska se merkitsee että positiivisilla luvuilla on itse asiassa kaksi neliöjuuria (esimerkiksi 16: n neliöjuuret ovat 4 ja −4, vaikka vain edellinen olisi intuitiivinen). Vastaavasti negatiivisilla luvuilla ei ole todellisia neliöjuureja, koska ei ole olemassa todellista lukua, joka saisi negatiivisen arvon kerrottuna itsellään. Tässä esityksessä positiivisen luvun negatiivinen neliöjuuri jätetään huomioimatta, joten "neliöjuuri 361" voidaan pitää "19" eikä "−19 ja 19."

Kun yritetään arvioida neliöjuuren arvo, kun mikään laskin ei ole kätevä, on tärkeää ymmärtää, että neliö- ja neliöjuuret sisältävät toiminnot eivät ole lineaarisia. Näet tästä lisää kaavioita koskevassa osiossa myöhemmin, mutta karkeana esimerkkinä olet jo havainnut, että 100: n neliöjuuri on 10 ja neliöjuuri 0 on 0. Näkemyksessä tämä saattaa johtaa siihen, että 50: n neliöjuuren (joka on puolivälissä 0-100) on oltava 5 (joka on puolivälissä 0-10). Mutta olet myös jo oppinut, että 50: n neliöjuuri on 7,071.

Lopuksi olet saattanut sisäistää ajatuksen, että kahden numeron kertominen yhdessä tuottaa luvun suurempi kuin itse, mikä tarkoittaa, että neliön juuret ovat aina pienempiä kuin alkuperäinen määrä. Tämä ei ole se tapaus! Numeroilla 0 ja 1 on myös neliöjuuret, ja joka tapauksessa neliöjuuri on suurempi kuin alkuperäinen luku. Tämä on helpoin osoittaa käyttämällä jakeita. Esimerkiksi 16/25 tai 0,64 on täydellinen neliö sekä osoittajassa että nimittäjässä. Tämä tarkoittaa, että jakeen neliöjuuri on sen ylä- ja alaosien neliöjuuri, joka on 4/5. Tämä on yhtä kuin 0,80, suurempi luku kuin 0,64.

"Neliöjuurix"kirjoitetaan yleensä käyttämällä radikaalimerkkiä tai vain radikaalia (√). Näin ollen kaikillex​:

edustaa sen neliöjuuria. Kääntämällä tätä ympäri, luvun neliöxon kirjoitettu eksponentilla 2 (x​²). Eksponentit ottavat tekstinkäsittelyn ja siihen liittyvien sovellusten alaindeksit, ja heitä kutsutaan myös valtuuksiksi. Koska radikaaleja merkkejä ei ole aina helppo tuottaa tarpeen mukaan, toinen tapa kirjoittaa "neliöjuuri"x"on käytettävä eksponenttia:

Tämä puolestaan ​​on osa yleistä järjestelmää:

tarkoittaa "korottaa"xvoimaanyja ota sittenz"sen juuret".x​^1/2 tarkoittaa siis "korotusta"xensimmäiseen voimaan, joka on yksinkertaisestixuudelleen ja ota sitten sen kaksi juurta eli neliöjuuri. "Laajentamalla tätä,x​^(5/3) tarkoittaa "korottaa"xarvoon 5, etsi sitten kolmannen juuren (tai kuutiojuuren) tulos. "

Radikaaleja voidaan käyttää edustamaan muita juuria kuin neliöjuuria. Tämä tapahtuu yksinkertaisesti lisäämällä yläindeksi radikaalin vasempaan yläkulmaan.

edustaa sitten samaa numeroa kuinx​^(5/3) edellisestä kappaleesta.

Useimmat neliön juuret ovat irrationaalisia lukuja. Tämä tarkoittaa, että ne eivät ole vain kauniita, siistit kokonaisluvut (esim. 1, 2, 3, 4.. .), mutta niitä ei myöskään voida ilmaista siistinä desimaalilukuna, joka päättyy ilman pyöristämistä. Rationaaliluku voidaan ilmaista murtolukuna. Joten vaikka 2.75 ei ole kokonaisluku, se on rationaaliluku, koska se on sama asia kuin murtoluku 11/4. Sinulle kerrottiin aiemmin, että 50: n neliöjuuri on 7,071, mutta tämä on tosiasiallisesti pyöristetty lukemattomasta desimaaliluvusta. √50: n tarkka arvo on 5√2, ja näet kuinka se määritetään pian.

Olet jo nähnyt, että yhtälöt neliöiden ja neliöjuurien sisällyttämisessä ovat epälineaarisia. Yksi helppo tapa muistaa tämä on, että näiden yhtälöiden ratkaisujen kaaviot eivät ole viivoja. Tämä on järkevää, koska jos, kuten todettiin, neliö 0 on 0 ja neliö 10 on 100, mutta neliö 5: n arvo ei ole 50, yksinkertaisesti luvun neliöittämisen tuloksena olevan kuvaajan on käyristyttävä oikeaan arvot.

Tämä pätee kaavioon

kuten voit itse nähdä käymällä Resurssien laskimessa ja muuttamalla parametreja. Suora kulkee pisteen (0,0) läpi, ja y ei mene alle 0, mitä sinun pitäisi odottaa, koska tiedät senx​² ei ole koskaan negatiivinen. Voit myös nähdä, että kaavio on symmetrineny-akseli, mikä on myös järkevää, koska jokaisen tietyn luvun positiivisen neliöjuuren mukana on yhtä suuri negatiivinen neliöjuuri. Siksi, lukuun ottamatta 0, jokainenyarvo kaaviossay​ = ​x​² liittyy kahteenx-arvot.

Yksi tapa puuttua neliön juuren perusongelmiin käsin on etsiä täydellisiä neliöitä, jotka on "piilotettu" ongelman sisälle. Ensinnäkin on tärkeää olla tietoinen muutamasta neliön ja neliön juuren elintärkeästä ominaisuudesta. Yksi näistä on se, aivan kuten √x​² on yksinkertaisesti yhtä suuri kuinx(koska radikaali ja eksponentti kumoavat toisensa):

Toisin sanoen, jos sinulla on täydellinen neliö radikaalin alla, joka kertoo toisen luvun, voit "vetää sen" ja käyttää sitä jäljellä olevan kertoimena. Esimerkiksi palataan 50: n neliöjuureen

Joskus voit lopettaa luvun, joka sisältää neliöjuuret ja joka ilmaistaan ​​murto-osana, mutta on silti irrationaalinen luku, koska nimittäjä, osoittaja tai molemmat sisältävät radikaalin. Tällaisissa tapauksissa sinua voidaan pyytää järkeistämään nimittäjä. Esimerkiksi numero

on radikaali sekä osoittajassa että nimittäjässä. Mutta kun olet tutkinut "45", saatat tunnistaa sen 9: n ja 5: n tulona, ​​mikä tarkoittaa sitä

Siksi murto voidaan kirjoittaa

Radikaalit kumoavat toisensa, ja sinulle jää 6/3 = 2.