Polynomin juuria kutsutaan myös sen nolliksi, koska juuret ovatxarvot, joissa funktio on nolla. Kun on kyse juurien todellisesta löytämisestä, käytettävissäsi on useita tekniikoita; factoring on menetelmä, jota käytät useimmin, vaikka kaavioista voi olla hyötyä.
Kuinka monta juurta?
Tutki polynomin korkeimman asteen termiä - eli termiä, jolla on korkein eksponentti. Tämä eksponentti on se, kuinka monta juurta polynomilla on. Joten jos polynomisi korkein eksponentti on 2, sillä on kaksi juurta; jos korkein eksponentti on 3, sillä on kolme juurta; ja niin edelleen.
Varoitukset
-
Siellä on saalis: Polynomin juuret voivat olla todellisia tai kuvitteellisia. "Todelliset" juuret ovat joukkoa, joka tunnetaan reaalilukuina, mikä matemaattisen urasi tässä vaiheessa on jokainen luku, johon olet tottunut käsittelemään. Kuvitteellisten numeroiden hallitseminen on täysin erilainen aihe, joten muista vain kolme asiaa:
- "Kuvitteelliset" juuret kasvavat, kun sinulla on negatiivisen luvun neliöjuuri. Esimerkiksi √ (-9).
- Kuvitteelliset juuret tulevat aina pareittain.
- Polynomin juuret voivat olla todellisia tai kuvitteellisia. Joten jos sinulla on 5. asteen polynomi, sillä voi olla viisi todellista juurta, sillä voi olla kolme todellista juurta ja kaksi kuvitteellista juurta, ja niin edelleen.
Etsi juuret faktoimalla: Esimerkki 1
Monipuolisin tapa löytää juuret on factoring polynomi niin paljon kuin mahdollista ja sitten asettaa jokainen termi nollaksi. Tämä on paljon järkevämpää, kun olet seurannut muutamia esimerkkejä. Tarkastellaan yksinkertaista polynomiax2 – 4x:
Lyhyt tutkimus osoittaa, että voit ottaa huomioonxpolynomin molemmista termeistä, mikä antaa sinulle:
x (x - 4)
Aseta kukin termi nollaksi. Tämä tarkoittaa kahden yhtälön ratkaisemista:
x = 0
on ensimmäinen nollaan määritetty termi ja
x - 4 = 0
on toinen termi nollaksi.
Sinulla on jo ratkaisu ensimmäiseen termiin. Josx= 0, niin koko lauseke on nolla. Niinx= 0 on yksi polynomin juurista tai nollista.
Harkitse nyt toista termiä ja ratkaisex. Jos lisäät 4 molemmille puolille, sinulla on:
x - 4 + 4 = 0 + 4
mikä yksinkertaistaa:
x = 4
Niin josx= 4, niin toinen tekijä on yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että koko polynomi on myös nolla.
Koska alkuperäinen polynomi oli toisen asteen (korkein eksponentti oli kaksi), tiedät, että tälle polynomille on vain kaksi mahdollista juurta. Olet jo löytänyt ne molemmat, joten sinun tarvitsee vain luetella ne:
x = 0, x = 4
Etsi juuret factoringin avulla: Esimerkki 2
Tässä on vielä yksi esimerkki siitä, kuinka löytää juuret faktoroimalla, käyttämällä hienoa algebraa matkan varrella. Tarkastellaan polynomiax4 – 16. Nopea tarkastelu sen eksponenteista osoittaa, että tälle polynomille pitäisi olla neljä juurta; nyt on aika löytää ne.
Huomasitko, että tämä polynomi voidaan kirjoittaa uudelleen neliöiden erona? Joten sen sijaanx4 - 16, sinulla on:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Joka laskee neliöiden eron kaavan avulla seuraavaa:
(x ^ 2-4) (x ^ 2 + 4)
Ensimmäinen termi on jälleen neliöiden ero. Joten vaikka et voi enää tarkentaa oikeanpuoleista termiä, voit vasemmalla olevan termin lisätä vielä yhden askeleen:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Nyt on aika löytää nollat. Nopeasti käy selväksi, että josx= 2, ensimmäinen kerroin on nolla, ja siten koko lauseke on nolla.
Samoin, josx= −2, toinen tekijä on nolla ja siten koko lauseke.
Niinx= 2 jax= −2 ovat molemmat tämän polynomin nollia tai juuria.
Mutta entä viimeinen termi? Koska sillä on "2" -eksponentti, sillä tulisi olla kaksi juurta. Mutta et voi ottaa huomioon tätä lauseketta käyttämällä todellisia numeroita, joihin olet tottunut. Sinun on käytettävä erittäin edistynyttä matemaattista käsitettä, jota kutsutaan kuvitteellisiksi numeroiksi tai, jos haluat, kompleksilukuiksi. Se on kaukana nykyisen matematiikkakäytäntösi puitteista, joten toistaiseksi riittää, että sinulla on kaksi todellista juurta (2 ja −2) ja kaksi kuvitteellista juurta, jotka jätät määrittelemättömiksi.
Etsi juuret piirtämällä
Voit etsiä tai ainakin arvioida juuret myös piirtämällä. Jokainen juuri edustaa kohtaa, jossa funktion kaavio ylittääxakseli. Joten jos piirtää viivan ja huomaa sittenxkoordinaatit, missä viiva ylittääxakselin, voit lisätä arvioidunxnäiden pisteiden arvot yhtälöön ja tarkista, oletko saanut ne oikein.
Harkitse polynomin ensimmäistä esimerkkiä, jonka olet työskennellytx2 – 4x. Jos vedät sen huolellisesti, huomaat, että viiva ylittääxakselin kohdallax= 0 jax= 4. Jos syötät nämä arvot alkuperäiseen yhtälöön, saat:
0^2 - 4(0) = 0
niinx= 0 oli kelvollinen nolla tai juuri tälle polynomille.
4^2 - 4(4) = 0
niinx= 4 on myös kelvollinen nolla tai juuri tälle polynomille. Ja koska polynomi oli astetta 2, tiedät, että voit lopettaa etsimisen kahden juuren löytämisen jälkeen.