Matematiikassa ilmenee joskus tarve todistaa, ovatko toiminnot riippuvaisia vai riippumattomia toisistaan lineaarisessa mielessä. Jos sinulla on kaksi lineaarisesti riippuvaa funktiota, näiden funktioiden yhtälöiden piirtäminen johtaa pisteisiin, jotka ovat päällekkäisiä. Toiminnot, joilla on itsenäiset yhtälöt, eivät ole päällekkäisiä graafisesti. Yksi menetelmä sen määrittämiseksi, ovatko toiminnot riippuvaisia vai riippumattomia, on laskea funktioiden Wronskian-arvo.
Mikä on wronskilainen?
Kahden tai useamman funktion Wronskian tunnetaan determinanttina, joka on erityinen funktio, jota käytetään matemaattisten kohteiden vertaamiseen ja tiettyjen tosiseikkojen todistamiseen niistä. Wronskilaisen tapauksessa determinanttia käytetään osoittamaan riippuvuus tai riippumattomuus kahden tai useamman lineaarisen funktion välillä.
Wronskin matriisi
Lineaaristen funktioiden Wronskian-arvon laskemiseksi funktiot on ratkaistava samalle arvolle matriisissa, joka sisältää sekä funktiot että niiden johdannaiset. Esimerkki tästä on
W (f, g) (t) = \ aloita {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
joka tarjoaa wronskilaiselle kaksi toimintoa (fjag), jotka on ratkaistu yhdellä arvolla, joka on suurempi kuin nolla (t); näet kaksi toimintoaf(t) jag(t) matriisin ylärivillä ja johdannaisetf'(t) jag'(t) alarivillä. Huomaa, että Wronskiania voidaan käyttää myös suurempiin sarjoihin. Jos esimerkiksi testaat kolme funktiota Wronskianin kanssa, saatat täyttää matriisin funktioilla ja johdannaisillaf(t), g(t) jah(t).
Wronskian ratkaiseminen
Kun funktiot on järjestetty matriisiin, kerro kukin funktio ristiin toisen funktion johdannaisen kanssa ja vähennä ensimmäinen arvo toisesta. Yllä olevassa esimerkissä tämä antaa sinulle
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Jos lopullinen vastaus on nolla, tämä osoittaa, että nämä kaksi toimintoa ovat riippuvaisia. Jos vastaus on jokin muu kuin nolla, toiminnot ovat riippumattomia.
Wronskian esimerkki
Oletetaan, että saat paremman käsityksen tämän toiminnasta
f (t) = x + 3 \ teksti {ja} g (t) = x - 2
Käyttämällä arvoat= 1, voit ratkaista funktiot seuraavasti
f (1) = 4 \ teksti {ja} g (1) = -1
Koska nämä ovat lineaarisia perustoimintoja, joiden kaltevuus on 1, molempien johdannaisetf(t) jag(t) yhtä suuri 1. Arvojen ristikertominen antaa
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
joka antaa lopputuloksen 5. Vaikka lineaarisilla funktioilla on molemmat sama kaltevuus, ne ovat riippumattomia, koska niiden pisteet eivät ole päällekkäisiä. Josf(t) oli tuottanut tuloksen −1 eikä 4, wronskilainen olisi antanut sen sijaan nollan tuloksen osoittamaan riippuvuutta.