Eksponenttien käsittelyn oppiminen on olennainen osa matemaattista koulutusta, mutta onneksi niiden kertomisen ja jakamisen säännöt vastaavat muiden kuin murtolukuisten eksponenttien sääntöjä. Ensimmäinen askel murtolukujen käsittelemiseksi on saada selville, mitä he tarkalleen ovat, ja sitten voit tarkastella tapoja, joilla voit yhdistää eksponentteja, kun ne kerrotaan tai jaetaan ja niillä on sama pohja. Lyhyesti sanottuna lisätään eksponentit yhteen kertomalla ja vähennetään yksi toisistaan jaettaessa, jos niillä on sama perusta.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Kerro termit eksponenttien kanssa yleisen säännön mukaan:
xa + xb = x(a + b)
Jaa termit eksponenttien kanssa säännön avulla:
xa ÷ xb = x(a – b)
Nämä säännöt toimivat minkä tahansa lausekkeen kanssaajab, jopa murto-osia.
Mitä ovat murto-osien eksponentit?
Murtolukuiset eksponentit tarjoavat kompaktin ja hyödyllisen tavan ilmaista neliö-, kuutio- ja korkeammat juuret. Eksponentin nimittäjä kertoo, mitä "perus" -numeron juurta termi edustaa. Termillä kuten
x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
Kahden eksponentin nimittäjä kertoo, että otat neliöjuurenxtässä ilmaisussa. Sama perussääntö koskee korkeampia juuria:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
Ja
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Tämä malli jatkuu. Konkreettinen esimerkki:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
Ja
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Murtoluvun eksponenttisäännöt: Murtolukueksponenttien kertominen samalla pohjalla
Kerro termit murtolukuihin (edellyttäen, että niillä on sama perusta) laskemalla yhteen eksponentit. Esimerkiksi:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
Siitä asti kunx1/3 tarkoittaa "kuutiojuurix, On täysin järkevää, että tämä kerrottuna itsestään kahdesti antaa tuloksenx. Saatat myös törmätä esimerkiksix1/3 × x1/3, mutta käsittelet näitä täsmälleen samalla tavalla:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
Se, että lopussa oleva lauseke on edelleen murto-osaaja, ei muuta prosessia. Tätä voidaan yksinkertaistaa, jos huomaat senx2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Tällaisella ilmaisulla ei ole väliä, otatko juuren vai vallan ensin. Tämä esimerkki kuvaa kuinka nämä lasketaan:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Koska 8: n kuutiojuuri on helppo selvittää, käsittele tämä seuraavasti:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Joten tämä tarkoittaa:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Saatat myös kohdata murtolukujen eksponenttien tuotteita, joilla on eri numerot murtolukujen nimittäjissä, ja voit lisätä nämä eksponentit samalla tavalla kuin lisäämällä muut murtoluvut. Esimerkiksi:
\ begin {tasattu} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {tasattu}
Nämä ovat kaikki yleisen säännön erityisiä lausekkeita kahden lausekkeen kerrottamiseksi eksponenteilla:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Murtoluvun eksponenttisäännöt: Murtolukueksponenttien jakaminen samalla pohjalla
Käsittele kahden luvun jakaminen murtolukuilla vähentämällä jakamasi eksponentti (jakaja) jakamallasi luvulla (osinko). Esimerkiksi:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Tämä on järkevää, koska mikä tahansa luku, joka on jaettu itsestään, on yhtä kuin yksi, ja tämä on sopusoinnussa sen vakiotuloksen kanssa, että mikä tahansa luku, joka on nostettu 0: n voimaksi, on yhtä. Seuraava esimerkki käyttää numeroita perustana ja erilaisina eksponenteina:
\ begin {tasattu} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ loppu {tasattu}
Näet myös, jos huomaat, että 161/2 = 4 ja 161/4 = 2.
Kuten kertolaskun kohdalla, saatat päätyä myös murtolukuihin, joilla on muu numero kuin yksi osoittajassa, mutta käsittelet näitä samalla tavalla.
Nämä yksinkertaisesti ilmaisevat eksponenttien jakamista koskevan yleisen säännön:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Murtolukueksponenttien kertominen ja jakaminen eri perusteissa
Jos termien perusteet ovat erilaiset, eksponenttien kerrottamiseen tai jakamiseen ei ole helppoa tapaa. Laske näissä tapauksissa yksinkertaisesti yksittäisten termien arvo ja suorita sitten vaadittu toimenpide. Ainoa poikkeus on, jos eksponentti on sama, jolloin voit kertoa tai jakaa ne seuraavasti:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4