Kolme menetelmää, joita yleisimmin käytetään yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen, ovat substituutio, eliminointi ja korotetut matriisit. Korvaaminen ja eliminointi ovat yksinkertaisia menetelmiä, joilla voidaan tehokkaasti ratkaista useimmat kahden yhtälön järjestelmät muutamassa suorassa vaiheessa. Laajennettujen matriisien menetelmä vaatii enemmän vaiheita, mutta sen soveltaminen ulottuu suurempaan valikoimaan järjestelmiä.
Vaihto
Substituutio on menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi poistamalla kaikki muut paitsi yksi muuttujista yhdessä yhtälössä ja ratkaisemalla sitten yhtälö. Tämä saavutetaan eristämällä toinen muuttuja yhtälössä ja korvaamalla sitten näiden muuttujien arvot toisessa yhtälössä. Esimerkiksi ratkaistaksesi yhtälöjärjestelmän x + y = 4, 2x - 3y = 3, eristä muuttuja x ensimmäiseen yhtälö saadaksesi x = 4 - y, korvaa sitten tämä y: n arvo toiseen yhtälöön saadaksesi 2 (4 - y) - 3y = 3. Tämä yhtälö yksinkertaistuu arvoon -5y = -5 tai y = 1. Liitä tämä arvo toiseen yhtälöön löytääksesi arvon x: x + 1 = 4 tai x = 3.
Eliminaatio
Eliminaatio on toinen tapa ratkaista yhtälöjärjestelmiä kirjoittamalla yksi yhtälöistä vain yhden muuttujan suhteen. Eliminaatiomenetelmä saavuttaa tämän lisäämällä tai vähentämällä yhtälöitä toisistaan yhden muuttujan kumoamiseksi. Esimerkiksi lisäämällä yhtälöt x + 2y = 3 ja 2x - 2y = 3 saadaan uusi yhtälö, 3x = 6 (huomaa, että y-termit peruutettiin). Sitten järjestelmä ratkaistaan samoilla menetelmillä kuin korvaaminen. Jos yhtälöiden muuttujia ei voida peruuttaa, koko yhtälö on kerrottava kertoimella, jotta kertoimet sopisivat yhteen.
Lisätty matriisi
Laajennettuja matriiseja voidaan käyttää myös yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Lisätty matriisi koostuu kunkin yhtälön riveistä, kunkin muuttujan sarakkeista ja lisätystä sarakkeesta, joka sisältää vakiotermin yhtälön toisella puolella. Esimerkiksi yhtälöjärjestelmän 2x + y = 4, 2x - y = 0 korotettu matriisi on [[2 1], [2-1]... [4, 0]].
Ratkaisun määrittäminen
Seuraavassa vaiheessa käytetään perusrivitoimintoja, kuten kerrottamalla tai jakamalla rivi muulla vakiolla kuin nollalla ja lisäämällä tai vähentämällä rivejä. Näiden operaatioiden tavoitteena on muuntaa matriisi rivi-ešelonimuodoksi, jossa jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava merkintä on 1, merkinnät Tämän merkinnän ylä- ja alapuolella ovat kaikki nollat, ja jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava merkintä on aina kaikkien tällaisten rivien merkintöjen oikealla puolella sen yläpuolella. Riviepelonimuoto yllä olevalle matriisille on [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Ensimmäisen muuttujan arvon antaa ensimmäinen rivi (1x + 0y = 1 tai x = 1). Toisen muuttujan arvon antaa toinen rivi (0x + 1y = 2 tai y = 2).
Sovellukset
Substituutio ja eliminointi ovat yksinkertaisempia menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi ja niitä käytetään paljon useammin kuin korotettuja matriiseja perusalgebrassa. Korvausmenetelmä on erityisen hyödyllinen, kun yksi muuttujista on jo eristetty jossakin yhtälössä. Eliminointimenetelmä on hyödyllinen, kun yhden muuttujan kerroin on sama (tai sen negatiivinen ekvivalentti) kaikissa yhtälöissä. Lisättyjen matriisien ensisijainen etu on, että sitä voidaan käyttää kolmen tai useamman yhtälön järjestelmien ratkaisemiseen tilanteissa, joissa korvaaminen ja eliminointi ovat joko mahdotonta tai mahdotonta.