Neliöyhtälöt ovat kaavoja, jotka voidaan kirjoittaa muodossa Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Joskus toisen asteen yhtälöä voidaan yksinkertaistaa faktoimalla tai ilmaisemalla yhtälö erillisten termien tulona. Tämä voi tehdä yhtälön helpommaksi ratkaista. Tekijöitä voi joskus olla vaikea tunnistaa, mutta on temppuja, jotka voivat tehdä prosessista helpompaa.
Pienennä yhtälöä suurimmalla yhteisellä tekijällä
Tutki toisen asteen yhtälöä selvittääkseen, onko olemassa luku ja / tai muuttuja, joka voi jakaa yhtälön jokaisen termin. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Suurin luku, joka voi jakautua tasaisesti yhtälön jokaiselle termille, on 2, joten 2 on suurin yhteinen tekijä (GCF).
Jaa kukin yhtälön termi GCF: llä ja kerro koko yhtälö GCF: llä. Esimerkkikaavassa 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, tämä johtaisi 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).
Yksinkertaista lauseketta täyttämällä jako kullakin termillä. Lopullisessa yhtälössä ei saa olla murtolukuja. Esimerkissä tämä johtaisi 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.
Etsi neliöiden välinen ero (jos B = 0)
Tutki toisen asteen yhtälöä nähdäksesi, onko se muodossa Ax ^ 2 + 0x - C = 0, missä A = y ^ 2 ja C = z ^ 2. Jos näin on, toisen asteen yhtälö ilmaisee kahden neliön eron. Esimerkiksi yhtälössä 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 ja C = 9 = 3 ^ 2, joten y = 2 ja z = 3.
Kerro yhtälö muotoon (yx + z) (yx - z) = 0. Esimerkkikaavassa y = 2 ja z = 3; siksi laskennallinen neliöyhtälö on (2x + 3) (2x - 3) = 0. Tämä on aina neliöllisen yhtälön laskennallinen muoto, joka on neliöiden ero.
Etsi täydellisiä neliöitä
Tutki toisen asteen yhtälöä ja tarkista, onko se täydellinen neliö. Jos neliöllinen yhtälö on täydellinen neliö, se voidaan kirjoittaa muodossa y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, kuten yhtälö 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, joka voidaan kirjoittaa uudestaan muodossa (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. Tässä tapauksessa y = 2x ja z = 3.
Tarkista, onko termi 2yz positiivinen. Jos termi on positiivinen, täydellisen neliön neliöllisen yhtälön tekijät ovat aina (y + z) (y + z). Esimerkiksi yllä olevassa yhtälössä 12x on positiivinen, joten tekijät ovat (2x + 3) (2x + 3) = 0.
Tarkista, onko termi 2yz negatiivinen. Jos termi on negatiivinen, tekijät ovat aina (y - z) (y - z). Esimerkiksi, jos yllä olevassa yhtälössä on termi -12x eikä 12x, tekijät olisivat (2x - 3) (2x - 3) = 0.
Käänteinen FOIL-kertolasku (jos A = 1)
Määritä asteikon yhtälö laskemalla (vx + w) (yx + z) = 0. Palautetaan muistiin FOIL-kertolaskujen säännöt (ensin, ulkopuolella, sisällä, viimeinen). Koska toisen asteen yhtälön ensimmäinen termi on Ax ^ 2, yhtälön molempien tekijöiden on sisällettävä x.
Ratkaise arvot v ja y ottamalla huomioon kaikki A-tekijät neliöyhtälössä. Jos A = 1, niin v ja y ovat aina 1. Esimerkissä yhtälö x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, joten v ja y voidaan ratkaista laskennallisessa yhtälössä saadakseen (1x + w) (1x + z) = 0.
Selvitä, ovatko w ja z positiivisia vai negatiivisia. Seuraavia sääntöjä sovelletaan: C = positiivinen ja B = positiivinen; molemmilla tekijöillä on + -merkki C = positiivinen ja B = negatiivinen; molemmilla tekijöillä on - merkki C = negatiivinen ja B = positiivinen; tekijällä, jolla on suurin arvo, on + -merkki C = negatiivinen ja B = negatiivinen; kertoimella, jolla on suurin arvo, on a-merkki. Esimerkin kaavassa vaiheesta 2 B = -9 ja C = +8, joten molemmilla yhtälön tekijöillä on - merkkejä, ja laskettu yhtälö voidaan kirjoittaa (1x - w) (1x - z) = 0.
Tee luettelo kaikista C: n tekijöistä w: n ja z: n arvojen löytämiseksi. Yllä olevassa esimerkissä C = 8, joten tekijät ovat 1 ja 8, 2 ja 4, -1 ja -8 sekä -2 ja -4. Kertoimien on laskettava yhteen B, joka on -9 esimerkkiyhtälössä, joten w = -1 ja z = -8 (tai päinvastoin) ja yhtälömme lasketaan kokonaisuudessaan seuraavasti: (1x - 1) (1x - 8) = 0.
Laatikkomenetelmä (jos A ei = 1)
Pienennä yhtälö sen yksinkertaisimpaan muotoon käyttämällä yllä lueteltua suurimman yhteisen tekijän menetelmää. Esimerkiksi yhtälössä 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 GCF on 9, joten yhtälö yksinkertaistuu arvoon 9 (x ^ 2 + 3x - 10).
Piirrä ruutu ja jaa se taulukkoon, jossa on kaksi riviä ja kaksi saraketta. Laita yksinkertaistetun yhtälön Ax ^ 2 rivin 1 sarakkeeseen 1 ja yksinkertaistetun yhtälön C rivin 2 sarakkeeseen 2.
Kerro A: lla C: llä ja etsi kaikki tuotteen tekijät. Yllä olevassa esimerkissä A = 1 ja C = -10, joten tuote on (1) (- 10) = -10. Kertoimet -10 ovat -1 ja 10, -2 ja 5, 1 ja -10 sekä 2 ja -5.
Määritä, mitkä tuotteen AC-tekijät muodostavat B: n. Esimerkissä B = 3. Kertoimet -10, jotka muodostavat 3, ovat -2 ja 5.
Kerro kaikki tunnistetut tekijät x: llä. Yllä olevassa esimerkissä tämä johtaisi -2x ja 5x. Laita nämä kaksi uutta termiä kaavion kahteen tyhjään tilaan, jotta taulukko näyttää tältä:
x ^ 2 | 5x
-2x | -10
Etsi laatikon jokaiselle riville ja sarakkeelle GCF. Esimerkissä ylärivin CGF on x ja alarivillä -2. Ensimmäisen sarakkeen GCF on x ja toisen sarakkeen 5.
Kirjoita laskutoimitettu yhtälö muotoon (w + v) (y + z) käyttämällä w- ja v-kaavioiden riveillä tunnistettuja tekijöitä sekä y- ja z-kaavioiden sarakkeista tunnistettuja tekijöitä. Jos yhtälöä yksinkertaistettiin vaiheessa 1, muista sisällyttää yhtälön GCF laskennalliseen lausekkeeseen. Esimerkin tapauksessa laskettu yhtälö on 9 (x - 2) (x + 5) = 0.
Vinkkejä
Varmista, että yhtälö on tavallisessa neliömuodossa, ennen kuin aloitat minkä tahansa kuvatuista menetelmistä.
Täydellisen neliön tai neliöeron tunnistaminen ei ole aina helppoa. Jos huomaat nopeasti, että neliöyhtälö, jota yrität ottaa huomioon, on jossakin näistä muodoista, se voi olla iso apu. Älä kuitenkaan viettää paljon aikaa yrittääksesi selvittää tämän, sillä muut menetelmät voivat olla nopeampia.
Tarkista aina työsi kertomalla tekijät FOIL-menetelmällä. Tekijöiden tulisi aina kertoa takaisin alkuperäiseen neliöyhtälöön.