Geometrisessä sekvenssissä kukin termi on yhtä suuri kuin edellinen termi kertaa vakio, nollasta poikkeava kerroin, jota kutsutaan yhteiseksi tekijäksi. Geometrisillä sekvensseillä voi olla kiinteä määrä termejä, tai ne voivat olla loputtomia. Kummassakin tapauksessa geometrisen sekvenssin termeistä voi nopeasti tulla hyvin suuria, hyvin negatiivisia tai hyvin lähellä nollaa. Aritmeettisiin sekvensseihin verrattuna termit muuttuvat paljon nopeammin, mutta loputtomasti sekvenssit kasvavat tai vähenevät tasaisesti, geometriset sekvenssit voivat lähestyä nollaa yhteisestä riippuen tekijä.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Geometrinen sekvenssi on järjestetty luettelo numeroista, joissa kukin termi on edellisen termin ja kiinteän, nollasta poikkeavan kertojan, jota kutsutaan yhteiseksi tekijäksi, tulo. Jokainen geometrisen sekvenssin termi on sitä edeltävien ja seuraavien termien geometrinen keskiarvo. Äärettömät geometriset sekvenssit, joiden yhteinen tekijä on +1 ja −1, lähestyvät nollarajaa termeinä lisätään samalla kun sekvenssit, joiden yhteinen tekijä on suurempi kuin +1 tai pienempi kuin −1, menevät plus- tai miinus-arvoihin ääretön.
Kuinka geometriset sekvenssit toimivat
Geometrinen sekvenssi määritetään sen aloitusnumerollaa, yhteinen tekijärja termien lukumääräS. Vastaava geometrisen sekvenssin yleinen muoto on:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
Termin yleinen kaavangeometrisen sekvenssin (ts. minkä tahansa termin sisällä tässä sekvenssissä):
a_n = ar ^ {n-1}
Rekursiivinen kaava, joka määrittelee termin edelliseen termiin nähden, on:
a_n = ra_ {n-1}
Esimerkki geometrisesta sekvenssistä, jonka aloitusnumero 3, yhteinen tekijä 2 ja kahdeksan termiä on 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Laskettaessa viimeinen termi käyttämällä yllä olevaa yleistä muotoa, termi on:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
Käyttämällä termin 4 yleistä kaavaa:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
Jos haluat käyttää rekursiivista kaavaa termille 5, niin termi 4 = 24 ja a5 on yhtä suuri kuin:
a_5 = 2 × 24 = 48
Geometriset sekvenssiominaisuudet
Geometrisillä sekvensseillä on erityisiä ominaisuuksia geometrisen keskiarvon suhteen. Kahden numeron geometrinen keskiarvo on niiden tuotteen neliöjuuri. Esimerkiksi 5: n ja 20: n geometrinen keskiarvo on 10, koska tulo 5 × 20 = 100 ja neliöjuuri 100 on 10.
Geometrisissä jaksoissa kukin termi on sitä edeltävän termin ja sen jälkeisen termin geometrinen keskiarvo. Esimerkiksi jaksoissa 3, 6, 12... yllä 6 on 3: n ja 12: n geometrinen keskiarvo, 12 on 6: n ja 24: n geometrinen keskiarvo ja 24 on 12: n ja 48: n geometrinen keskiarvo.
Muut geometristen sekvenssien ominaisuudet riippuvat yhteisestä tekijästä. Jos yhteinen tekijäron suurempi kuin 1, äärettömät geometriset sekvenssit lähestyvät positiivista ääretöntä. Josron välillä 0 ja 1, sekvenssit lähestyvät nollaa. Josron nollan ja −1 välillä, sekvenssit lähestyvät nollaa, mutta termit vuorottelevat positiivisten ja negatiivisten arvojen välillä. Josron pienempi kuin −1, termit suuntaavat kohti positiivista ja negatiivista ääretöntä, kun ne vaihtelevat positiivisten ja negatiivisten arvojen välillä.
Geometriset sekvenssit ja niiden ominaisuudet ovat erityisen hyödyllisiä reaalimaailman prosessien tieteellisissä ja matemaattisissa malleissa. Tiettyjen sekvenssien käyttö voi auttaa tutkimaan populaatioita, jotka kasvavat kiinteällä nopeudella tietyn ajanjakson ajan, tai investointeja, jotka ansaitsevat kiinnostusta. Yleisen ja rekursiivisen kaavan avulla voidaan ennustaa tarkat arvot tulevaisuudessa lähtökohdan ja yhteisen tekijän perusteella.