Absoluuttiset arvoyhtälöt voivat olla aluksi hieman pelottavia, mutta jos pidät siitä, ratkaiset ne pian helposti. Kun yrität ratkaista absoluuttisen arvon yhtälöitä, se auttaa pitämään mielessä absoluuttisen arvon merkityksen.
Absoluuttisen arvon määritelmä
absoluuttinen arvonumerostax, kirjoitettu |x| on sen etäisyys nollasta numerolinjalla. Esimerkiksi −3 on 3 yksikön päässä nollasta, joten −3: n absoluuttinen arvo on 3. Kirjoitamme sen näin: | −3 | = 3.
Toinen tapa ajatella sitä on seabsoluuttinen arvoon luvun positiivinen "versio". Joten −3: n absoluuttinen arvo on 3, kun taas absoluuttinen arvo 9, joka on jo positiivinen, on 9.
Algebrallisesti voimme kirjoittaa aabsoluuttisen arvon kaavajoka näyttää tältä:
| x | = \ aloita {tapaukset} x & \ teksti {jos} x ≥ 0 \\ -x & \ teksti {jos} x ≤ 0 \ loppu {tapaukset}
Ota esimerkki missäx= 3. Koska 3 ≥ 0, absoluuttinen arvo 3 on 3 (absoluuttisen arvon merkinnässä se on: | 3 | = 3).
Entä josx= −3? Se on alle nolla, joten | −3 | = - (−3). −3: n päinvastainen eli "negatiivinen" on 3, joten | −3 | = 3.
Absoluuttisten arvoyhtälöiden ratkaiseminen
Nyt joitain absoluuttisen arvon yhtälöitä. Absoluuttisen arvon yhtälön ratkaisemisen yleiset vaiheet ovat:
Eristä absoluuttisen arvon lauseke.
Ratkaise yhtälön positiivinen "versio".
Ratkaise yhtälön negatiivinen "versio" kertomalla yhtälömerkin toisella puolella oleva luku −1: llä.
Katsokaa alla olevaa ongelmaa saadaksesi konkreettisen esimerkin vaiheista.
Esimerkki: Ratkaise yhtälöx:
| 3 + x | - 5 = 4
Sinun täytyy saada | 3 +x| itsestään yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella. Voit tehdä tämän lisäämällä molemmille puolille 5:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Ratkaisexikään kuin absoluuttista arvomerkkiä ei olisi siellä!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Se on helppoa: Vähennä vain 3 molemmilta puolilta.
3 + x -3 = 9-3 \\ x = 6
Joten yksi ratkaisu yhtälöön on sex = 6.
Aloita uudelleen kohdasta | 3 +x| = 9. Edellisen vaiheen algebra osoitti senxvoisi olla 6. Mutta koska tämä on absoluuttinen arvoyhtälö, on olemassa toinen mahdollisuus harkita. Yllä olevassa yhtälössä "jonkin" absoluuttinen arvo (3 +x) on 9. Toki positiivisen 9 absoluuttinen arvo on 9, mutta myös tässä on toinen vaihtoehto! Absoluuttinen arvo −9 on yhtä kuin 9. Joten tuntematon "jotain" voi myös olla yhtä suuri kuin −9.
Toisin sanoen:
3 + x = -9
Nopea tapa päästä tähän toiseen versioon on kertoa määrä toisella puolella on absoluuttisen arvon lausekkeesta (tässä tapauksessa 9) yhtä suuri kuin −1, ratkaise sitten yhtälö arvosta siellä.
Niin:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (-1) \\ 3 + x = -9
Vähennä 3 molemmilta puolilta saadaksesi:
3 + x -3 = -9-3 \\ x = -12
Joten nämä kaksi ratkaisua ovat:x= 6 taix = −12.
Ja sinulla on se! Tällaiset yhtälöt käyttävät käytännössä, joten älä huoli, jos kamppailet aluksi. Pysy siinä ja se tulee helpommaksi!