Matematiikassa funktio on prosessi, jota sovelletaan riippumattomaan muuttujaanxsaada riippuva muuttujay. Jos ajattelet sen olevan "menossa" sinunxsaapua sinuny, käänteisfunktio menee päinvastoin, tuloksesta takaisin alkuperäiseen arvoon. Tavallaan käänteinen funktio on päinvastainen alkuperäiselle, "kumoaa" prosessin.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Käänteinen matemaattinen funktio kääntää roolityjaxalkuperäisessä toiminnossa.
Toiminnot ja käänteet
Matemaatikot määrittelevät funktion prosessiksi tai säännöksi, joka tuottaa joukon järjestetyt parit. Voit ajatella parin ensimmäistä jäsentäxfunktion ja toisen jäseneny. Todellisessa funktiossa ensimmäisellä arvolla on vain yksi siihen liittyvä ratkaisuarvo. Joten kukinxarvolla on vain yksi vastaavayarvo. Joten vaakasuoran viivan yhtälö,y= 1 on funktio, mutta pystyviiva,x= 1 ei ole.
Piirrä kaavio
Funktion kaavio ja sen käänteisarvo ovat toistensa heijastuksia, viiva edustaay = xtoimii "peilinä". Otetaan esimerkki: luonnollisen logaritmin funktion kaavio ln (
x), alkaa negatiivisesta äärettömyydestäyakselilla ja vain nollan oikealla puolellaxakseli. Sieltä se ylittääx-akseli pisteessä (1,0) ja sen käyrä on hieman ylöspäin nousevaxakseli. Sen käänteinen, luonnollinen eksponenttifunktio exp (x), onx-akseli asymptoottina alkaen negatiivisesta äärettömyydestäxakseli, aivan sen yläpuolella. Se ylittääyakselilla (0,1) ja käyrät voimakkaasti ylöspäin. Piirrä kaksi funktiota kaavioon ja piirrä sitten viivay = x, ja näet, että exp (x) ja ln (x) peilaa toisiaan.Sinus ja kosini
Vaikka sini- ja kosinifunktiot liittyvät toisiinsa, yksi ei ole toisen käänteinen. Sini- ja kosini-funktiot tuottavat samanlaisia graafisia tuloksia, vaikka kosini "johtaa" siniä 90 astetta. Kosini on myös sinin johdannainen. Sinifunktion käänteinen puoli on kuitenkin arkiini ja kosinin käänteinen on arkosiini.
Käänteisen funktion etsiminen
Monien toimintojen käänteisen löytäminen on suhteellisen helppoa: Vaihday"Ja"x”Yhtälössä ja ratkaise sitteny. Harkitse esimerkiksi yhtälöä
y = 2x + 4
Vaihdetaan y kohtaanxantaa
x = 2 v + 4
Vähennä 4 molemmilta puolilta saadaksesi
x - 4 = 2 v
ja jaa sitten molemmat puolet 2: lla saadaksesi
\ frac {x} {2} - 2 = y
mikä on käänteisfunktio.
Käänteiset ei-toiminnot
Kaikki toimintojen käänteiset eivät ole myös funktioita. Muistakaa, että toimintojen määritelmä sanoo, että jokainenxon vain yksiyarvo. Vaikka arcsine on sinifunktion käänteinen muoto, arcsine ei ole teknisesti funktio, kutenxarvoilla on äärettömän monta vastaavaayarvot. Se on totta myös
y = x ^ 2 \ text {ja} y = \ sqrt {x}
ensimmäinen on funktio ja toinen on käänteinen, mutta neliöjuuri antaa kaksi vastaavaayarvot, positiiviset ja negatiiviset, joten se ei ole todellinen tehtävä.