Binomijakauma kuvaa muuttujaa X jos 1) on kiinteä numero n muuttujan havainnot; 2) kaikki havainnot ovat toisistaan riippumattomia; 3) onnistumisen todennäköisyys s on sama jokaiselle havainnolle; ja 4) kukin havainto edustaa yhtä tarkalleen kahdesta mahdollisesta tuloksesta (tästä johtuen sana "binomi" - ajattele "binaarinen"). Tämä viimeinen määrittely erottaa binomijakaumat Poisson-jakaumista, jotka vaihtelevat jatkuvasti eikä diskreettisesti.
Tällainen jakauma voidaan kirjoittaa B(n, s).
Tietyn havainnon todennäköisyyden laskeminen
Sano arvo k sijaitsee jossain binomijakauman kuvaajassa, joka on symmetrinen keskiarvon suhteen np. Jotta voidaan laskea todennäköisyys, että havainto saa tämän arvon, tämä yhtälö on ratkaistava:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
missä
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
"!" tarkoittaa tekijäfunktiota, esim. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Esimerkki
Oletetaan, että koripalloilija heittää 24 vapaaheittoa ja sen onnistumisprosentti on 75 prosenttia (s = 0.75). Mitkä ovat mahdollisuudet lyödä tarkalleen 20 24 laukauksestaan?
Laske ensin (n: k) seuraavasti:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Täten
P (20) = 10626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Tällä pelaajalla on siis 13,1 prosentin mahdollisuus tehdä tarkalleen 20 24 vapaaheitosta intuition mahdollisen mukaisesti ehdottaa pelaajasta, joka tavallisesti osui 18 24: stä vapaaheitosta (hänen vakiintuneen 75 prosentin onnistumisasteensa vuoksi).