Kuinka löytää kahden numeron suurin yhteinen tekijä

Kahden numeron suurimman yhteisen tekijän eli GCF: n löytäminen on hyödyllistä matemaattisissa tilanteissa, mutta etenkin murtolukujen yksinkertaistamisessa. Jos kamppailet tämän kanssa tai etsit yhteisiä nimittäjiä, kahden menetelmän oppiminen yhteisten tekijöiden löytämiseksi auttaa sinua saavuttamaan tavoitteen. Ensinnäkin on kuitenkin hyvä oppia tekijöiden perusteista; sitten voit tarkastella kahta lähestymistapaa yhteisten tekijöiden löytämiseksi. Lopuksi voit tarkastella kuinka soveltaa tietosi yksinkertaistamaan murto-osaa.

Kertoimet ovat numerot, jotka kerrot yhdessä tuottamaan toisen luvun. Esimerkiksi 2 ja 3 ovat kertoimia 6, koska 2 × 3 = 6. Vastaavasti 3 ja 3 ovat tekijöitä 9, koska 3 × 3 = 9. Kuten ehkä tiedät, alkuluvut ovat lukuja, joilla ei ole muita tekijöitä kuin itsensä ja 1. Joten 3 on alkuluku, koska ainoat kaksi kokonaislukua (kokonaislukua), jotka voivat kertoa yhdessä vastaukseksi 3, ovat 3 ja 1. Samalla tavoin 7 on alkuluku ja 13.

Tästä syystä on usein hyödyllistä jakaa luku ensisijaisiin tekijöihin. Tämä tarkoittaa toisen luvun kaikkien alkulukujen löytämistä. Periaatteessa se jakaa numeron tärkeimmiksi "rakennuspalikoiksi", mikä on hyödyllinen askel kohti kahden numeron suurimman yhteisen tekijän löytäminen ja on myös korvaamaton neliön yksinkertaistamisessa juuret.

Yksinkertaisin menetelmä kahden numeron suurimman yhteisen tekijän löytämiseksi on yksinkertaisesti luetella jokaisen luvun kaikki tekijät ja etsiä suurin luku, jonka molemmat jakavat. Kuvittele, että haluat löytää korkeimman yhteisen tekijän 45 ja 60. Ensinnäkin, tarkastele eri lukuja, jotka voit kertoa yhdessä saadaksesi 45.

Helpoin tapa aloittaa on niiden kahden kanssa, joiden tiedät toimivan, jopa alkuluvulla. Tässä tapauksessa tiedämme 1 × 45 = 45, joten tiedämme, että 1 ja 45 ovat tekijöitä 45. Nämä ovat 45: n ensimmäinen ja viimeinen tekijä, joten voit täyttää vain sieltä. Selvitä seuraavaksi, onko 2 tekijä. Tämä on helppoa, koska mikä tahansa parillinen luku jaetaan 2: lla, ja mikä tahansa pariton luku ei. Joten tiedämme, että 2 ei ole tekijä 45. Entä 3? Sinun pitäisi pystyä havaitsemaan, että 3 on kerroin 45, koska 3 × 15 = 45 (voit aina rakentaa mitä sinä osaat selvittää tämän esimerkiksi, tiedät, että 3 × 12 = 36, ja kolmen lisääminen tähän johtaa sinut 45).

Seuraavaksi, onko 4 kerroin 45? Ei - tiedät 11 × 4 = 44, joten se ei voi olla! Seuraavaksi, entä 5? Tämä on toinen helppo, koska mikä tahansa numero, joka päättyy 0: een tai 5: ään, on jaettavissa 5: llä. Tämän avulla voit helposti havaita, että 5 × 9 = 45. Mutta 6 ei ole hyvä, koska 7 × 6 = 42 ja 8 × 6 = 48. Tästä näet myös, että 7 ja 8 eivät ole tekijöitä 45. Tiedämme jo, että 9 on, ja on helppo nähdä, että 10 ja 11 eivät ole tekijöitä. Jatka tätä prosessia ja huomaat, että 15 on tekijä, mutta mikään muu ei ole.

Joten tekijät 45 ovat: 1, 3, 5, 9, 15 ja 45.

60: n kohdalla suoritat täsmälleen saman prosessin. Tällä kertaa luku on parillinen (joten tiedät, että 2 on kerroin) ja jaettavissa 10: llä (joten 5 ja 10 ovat molemmat tekijät), mikä tekee asioista hieman helpompia. Kun olet käynyt läpi prosessin uudelleen, sinun pitäisi nähdä, että tekijät 60 ovat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60.

Näiden kahden luettelon vertailu osoittaa, että 15 on suurin yhteinen tekijä 45 ja 60. Tämä menetelmä voi olla aikaa vievä, mutta se on yksinkertainen ja toimii aina. Voit myös aloittaa mistä tahansa suuresta yleisestä tekijästä, jonka voit havaita heti, ja sitten yksinkertaisesti etsiä jokaisen luvun suurempia tekijöitä.

Toinen tapa löytää GCF kahdelle luvulle on käyttää alkutekijöitä. Primaarifraktiointiprosessi on hieman helpompaa ja jäsennelty kuin jokaisen tekijän löytäminen. Käydään läpi prosessi 42 ja 63.

Alkutekijöintiprosessi käsittää periaatteessa luvun hajottamisen, kunnes sinulle jää vain alkuluvut. On parasta aloittaa pienimmällä pääluvulla (kaksi) ja työskennellä sieltä. Joten 42: lle on helppo nähdä, että 2 × 21 = 42. Jatka sitten 21: stä: Onko 2 tekijä? Ei. Onko 3? Joo! 3 × 7 = 21, ja 3 ja 7 ovat molemmat alkulukuja. Tämä tarkoittaa, että 42: n pääkertoimet ovat 2, 3 ja 7. Ensimmäisessä ”tauossa” käytettiin 2 päästäkseen 21: een, ja toisessa se jaettiin 3: een ja 7: een. Voit tarkistaa tämän kertomalla kaikki tekijät yhteen ja tarkistamalla, että saat alkuperäisen numeron: 2 × 3 × 7 = 42.

63: lle 2 ei ole tekijä, mutta 3 on, koska 3 × 21 = 63. Jälleen 21 hajoaa 3: ksi ja 7: ksi - molemmat tärkeimmistä - joten tiedät tärkeimmät tekijät! Tarkastus osoittaa, että 3 × 3 × 7 = 63, tarpeen mukaan.

Löydät korkeimman yhteisen tekijän tarkastelemalla, mitkä alkutekijät näillä kahdella luvulla ovat yhteisiä. Tässä tapauksessa 42: lla on 2, 3 ja 7 ja 63: lla 3, 3 ja 7. Heillä on 3 ja 7 yhteistä. Korkeimman yhteisen tekijän löytämiseksi kertomalla kaikki yhteiset alkutekijät yhteen. Tässä tapauksessa 3 × 7 = 21, joten 21 on suurin yhteinen tekijä 42 ja 63.

Myös edellinen esimerkki voidaan ratkaista nopeammin. Koska 45 on jaettavissa kolmella (3 × 15 = 45) ja 15 on myös jaettavissa kolmella (3 × 5 = 15), 45: n pääkertoimet ovat 3, 3 ja 5. 60: lle se on jaettavissa kahdella (2 × 30 = 60), 30 on jaettavissa myös kahdella (2 × 15 = 30), ja sitten sinulle jää 15, jonka tiedämme olevan kolme ja viisi päätekijänä jättäen 2, 2, 3 ja 5. Verrattuna kahteen luetteloon kolme ja viisi ovat yhteisiä alkutekijöitä, joten suurin yhteinen tekijä on 3 × 5 = 15.

Siinä tapauksessa, että on kolme tai useampia yhteisiä alkutekijöitä, kerrot ne kaikki yhdessä samalla tavalla löytääksesi suurimman yhteisen tekijän.

Jos sinulle esitetään murto, kuten 32/96, se voi tehdä kaikki sen jälkeen tulevat laskelmat hyvin monimutkaisiksi, ellet löydä keinoa yksinkertaistaa murto-osaa. Pienimmän yhteisen tekijän 32 ja 96 löytäminen kertoo luvun, jolla molemmat voidaan jakaa, jolloin saat yksinkertaisemman murto-osan. Tässä tapauksessa:

96: lle prosessi antaa:

On oltava selvää, että 2⁵ = 32 on korkein yhteinen tekijä. Jakamalla molemmat jakeen osat 32: lla saadaan:

Yhteisten nimittäjien löytäminen on samanlainen prosessi. Kuvittele, että sinun oli lisättävä jakeet 15/45 ja 40/60. Ensimmäisestä esimerkistä tiedämme, että 15 on korkein yhteinen tekijä 45 ja 60, joten voimme heti ilmaista ne 5/15 ja 10/15. Koska 3 × 5 = 15 ja molemmat osoittajat ovat myös jaettavissa viidellä, voimme jakaa molempien jakeiden molemmat osat viidellä saadaksesi 1/3 ja 2/3. Nyt ne on paljon helpompi lisätä ja nähdä se