Kolmemõõtmelises ruumis oleva tasapinna võrrandi saab algebralises tähistuses kirjutada kui ax + by + cz = d, kus vähemalt üks reaalarvukonstandid "a", "b" ja "c" ei tohi olla nullid ning "x", "y" ja "z" tähistavad kolmemõõtmelise telge lennuk. Kui antakse kolm punkti, saate vektorite ristproduktide abil määrata tasapinna. Vektor on sirge ruumis. Ristprodukt on kahe vektori korrutamine.
Hankige lennukis kolm punkti. Märgistage need tähtedega "A", "B" ja "C." Oletame näiteks, et need punktid on A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); ja C = (1, 3, 4).
Leidke lennukilt kaks erinevat vektorit. Valige näites vektorid AB ja AC. Vektor AB liigub punktist A punkti B ja vektor AC läheb punktist A punkti C. Seega lahutage vektor AB saamiseks igast punkti A koordinaadist punkti B igast koordinaadist: (-2, 3, 1). Samamoodi on vektor AC punkt-C, millest lahutatakse punkt A, või (-2, 2, 3).
Arvutage kahe vektori ristprodukt, et saada uus vektor, mis on normaalne (või risti või risti) mõlemale vektorile ja ka tasapinnale. Kahe vektori (a1, a2, a3) ja (b1, b2, b3) ristprodukt saadakse N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). Selles näites on AB ja AC ristprodukt N, i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], mis lihtsustub väärtuseks N = 7i + 4j + 2k. Pange tähele, et "i", "j" ja "k" kasutatakse vektorkoordinaatide tähistamiseks.
Tuletage tasapinna võrrand. Tasandi võrrand on Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, kus (a1, a2, a3) on ükskõik milline tasapinna punkt ja (Ni, Nj, Nk ) on normaalne vektor, N. Selles näites, kasutades punkti C, mis on (1, 3, 4), on tasapinna võrrand 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, mis lihtsustab 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 või 7x + 4y + 2z = 27.
Kontrollige oma vastust. Asendage algsed punktid, et näha, kas need vastavad tasapinna võrrandile. Näite kokkuvõtteks võib öelda, et kui asendada mõni kolmest punktist, näete, et tasandi võrrand on tõesti täidetud.
Näpunäited
Vaadake jaotist Ressursid, kuidas kasutada kolme samaaegse võrrandi süsteeme tasapinna võrrandi leidmiseks.