Matemaatikas tekib mõnikord vajadus tõestada, kas funktsioonid on lineaarses mõttes üksteisest sõltuvad või sõltumatud. Kui teil on kaks lineaarselt sõltuvat funktsiooni, saadakse nende funktsioonide võrrandite joonistamise teel punktid, mis kattuvad. Sõltumatute võrranditega funktsioonid ei kattu graafiliselt. Üks meetod funktsioonide sõltuvuse või sõltumatuse määramiseks on funktsioonide Wronskian arvutamine.
Mis on wronsklane?
Kahe või enama funktsiooni wronskian on nn determinant, mis on erifunktsioon, mida kasutatakse matemaatiliste objektide võrdlemiseks ja nende kohta teatud faktide tõestamiseks. Wronskia puhul kasutatakse determinanti kahe või enama lineaarse funktsiooni vahelise sõltuvuse või sõltumatuse tõestamiseks.
Wronski maatriks
Lineaarsete funktsioonide Wronski väärtuse arvutamiseks tuleb funktsioonid lahendada sama väärtusega maatriksis, mis sisaldab nii funktsioone kui ka nende tuletisi. Selle näiteks on
W (f, g) (t) = \ algab {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ end {vmatrix}
mis pakub wronski keelt kaheks funktsiooniks (fjag), mis on lahendatud ühe väärtuse korral, mis on suurem kui null (t); näete kahte funktsioonif(t) jag(t) maatriksi ülemises reas ja tuletisedf'(t) jag'(t) alumises reas. Pange tähele, et Wronskianit saab kasutada ka suuremate komplektide jaoks. Näiteks kui testite Wronskianiga kolme funktsiooni, võite täita maatriksi funktsioonide ja tuletistegaf(t), g(t) jah(t).
Wronski lahendamine
Kui olete funktsioonid maatriksisse paigutanud, korrutage kõik funktsioonid teise funktsiooni tuletisega ja lahutage esimene väärtus teisest. Ülaltoodud näite puhul annab see teile
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Kui lõplik vastus võrdub nulliga, näitab see, et need kaks funktsiooni on sõltuvad. Kui vastus on midagi muud kui null, on funktsioonid sõltumatud.
Wronski näide
Oletame, et selle toimimise kohta paremini aimu anda
f (t) = x + 3 \ text {ja} g (t) = x - 2
Kasutades väärtustt= 1, saate funktsioonid lahendada järgmiselt
f (1) = 4 \ text {ja} g (1) = -1
Kuna need on lineaarsed põhifunktsioonid, mille kalle on 1, on mõlema tuletisedf(t) jag(t) võrdne 1. Oma väärtuste ristkorrutamine annab
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
mis annab lõpptulemuseks 5. Kuigi lineaarsetel funktsioonidel on sama kalle, on nad sõltumatud, kuna nende punktid ei kattu. Kuif(t) oli andnud tulemuse −1 asemel 4, oleks wronsklane sõltuvuse tähistamiseks andnud hoopis nulli.