Kas olete kunagi mõelnud, kuidas on trigonomeetrilised funktsioonid nagu siinus ja koosinus omavahel seotud? Neid mõlemaid kasutatakse külgede ja nurkade arvutamiseks kolmnurkades, kuid seos läheb sellest kaugemale.Koostalitluse identiteedidandke meile konkreetsed valemid, mis näitavad, kuidas teisendada siinuse ja koosinuse, puutuja ja kotangendi ning sekandi ja koosekandi vahel.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Nurga siinus võrdub selle kompositsiooni koosinus ja vastupidi. See kehtib ka teiste funktsioonide kohta.
Lihtne viis meeles pidada, millised funktsioonid on kaasfunktsioonid, on see, et kaks trig-funktsiooni onkoosfunktsioonidkui ühel neist on ees eesliide "co-". Niisiis:
- siinus jakaassiinused onkaasfunktsioone.
- puutuja jakaaspuutujad onkaasfunktsioone.
- sekant jakaassekantid onkaasfunktsioone.
Koefunktsioonide vahel saame edasi-tagasi arvutada, kasutades seda definitsiooni: Nurga funktsiooni väärtus võrdub komplemendi koofunktsiooni väärtusega.
See kõlab keeruliselt, kuid selle asemel, et rääkida funktsiooni väärtusest üldiselt, kasutame konkreetset näidet. The
siinusnurga all võrdubkoosinusselle täiend. Ja sama kehtib ka teiste koosfunktsioonide kohta: nurga puutuja võrdub selle komplekti kotangendiga.Pidage meeles: kaks nurka ontäiendabkui need lisavad kuni 90 kraadi.
Koostalitluse identiteedid kraadides:
(Pange tähele, et 90 ° -xannab meile nurga täienduse.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ võrevoodi (90 ° - x) \\ \ võrevoodi (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Kofunktsioonide identiteedid radiaanides
Pidage meeles, et me saame asju kirjutada ka terminitegaradiaanid, mis on nurkade mõõtmise SI-ühik. Üheksakümmend kraadi on sama mis π / 2 radiaan, nii et võime kirjutada ka funktsioonide identiteedid järgmiselt:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ võrevoodi \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ võrevoodi (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Kofunktsioonide identiteetide tõendamine
See kõik kõlab kena, kuid kuidas tõestada, et see on tõsi? Ise katsetamine paaril kolmnurgal võib aidata teil end selles enesekindlalt tunda, kuid on ka rangem algebraline tõestus. Tõestame siinuse ja koosinuse koosfunktsioonide identiteete. Me hakkame töötama radiaanides, kuid see on sama, mis kraadide kasutamine.
Tõend:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Kõigepealt pöörduge oma mälus tagasi selle valemi juurde, sest me kasutame seda oma tõestuses:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Sain aru? OKEI. Tõestame nüüd: patt (x) = cos (π / 2 - x).
Saame cos (π / 2 -x) nagu nii:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × sin ( x)
sest me teame
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {ja} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Niisiis
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Nüüd tõestame seda koosinus!
Tõend:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Veel üks minevikuhoog: mäletate seda valemit?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Me hakkame seda kasutama. Nüüd tõestame:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Me võime pattu ümber kirjutada (π / 2 -x) nagu nii:
\ begin {joondatud} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {joondatud}
sest me teame
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {ja} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Nii et saame
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Funktsioonide kalkulaator
Proovige mõningaid näiteid ise funktsioneerivate funktsioonide kohta. Kui aga jänni jääd, on Math Celebrityil funktsioonifunktsioonide kalkulaator, mis näitab järk-järgulisi lahendusi kaasfunktsioonide probleemidele.
Head arvutamist!