Imagina que estás parado en medio de una arena perfectamente circular. Miras hacia las multitudes a lo largo de los lados de la arena y ves a tu mejor amigo en un asiento y a tu maestro de matemáticas de la escuela secundaria un par de secciones más allá. ¿Cuál es la distancia entre ellos y tú? ¿Qué distancia tendrías que caminar para viajar desde el asiento de tu amigo al asiento de tu maestro? ¿Cuáles son las medidas de los ángulos entre ustedes? Todas estas son preguntas relacionadas con los ángulos centrales.
A ángulo central es el ángulo que se forma cuando se dibujan dos radios desde el centro del círculo hasta sus bordes. En este ejemplo, los dos radios son sus dos líneas de visión desde usted, en el centro de la arena, hacia su amigo, y su línea de visión hacia su maestro. El ángulo que se forma entre estas dos líneas es el ángulo central. Es el ángulo más cercano al centro del círculo.
Tu amigo y tu profesor están sentados junto al circunferencia o los bordes del círculo. El camino a lo largo de la arena que los conecta es un arco.
Encuentre el ángulo central a partir de la longitud y circunferencia del arco
Hay un par de ecuaciones que puedes usar para encontrar el ángulo central. A veces obtendrás el longitud de arco, la distancia a lo largo de la circunferencia entre dos puntos. (En el ejemplo, esta es la distancia que tendría que caminar alrededor de la arena para llegar de su amigo a su maestro). La relación entre el ángulo central y la longitud del arco es:
(longitud del arco) ÷ circunferencia = (ángulo central) ÷ 360 °
El ángulo central estará en grados.
Esta fórmula tiene sentido, si lo piensas bien. La longitud del arco fuera de la longitud total alrededor del círculo (circunferencia) es la misma proporción que el ángulo del arco fuera del ángulo total en un círculo (360 grados).
Para usar esta ecuación de manera efectiva, necesita conocer la circunferencia del círculo. Pero también puede usar esta fórmula para encontrar la longitud del arco si conoce el ángulo central y la circunferencia. O, si tiene la longitud del arco y el ángulo central, ¡puede encontrar la circunferencia!
Encuentre el ángulo central a partir de la longitud y el radio del arco
También puede usar el radio del círculo y la longitud del arco para encontrar el ángulo central. Llame a la medida del ángulo central θ. Luego:
θ = s÷ r, donde s es la longitud del arco y r es el radio. θ se mide en radianes.
Nuevamente, puede reorganizar esta ecuación según la información que tenga. Puede encontrar la longitud del arco a partir del radio y el ángulo central. O puede encontrar el radio si tiene el ángulo central y la longitud del arco.
Si desea la longitud del arco, la ecuación se ve así:
s =θ * r, donde s es la longitud del arco, r es el radio y θ es el ángulo central en radianes.
El teorema del ángulo central
Agreguemos un giro a tu ejemplo en el que estás en la arena con tu vecino y tu maestro. Ahora hay una tercera persona que conoces en la arena: tu vecino de al lado. Y una cosa más: están detrás de ti. Tienes que darte la vuelta para verlos.
Tu vecino está aproximadamente al otro lado de la arena de tu amigo y tu maestro. Desde el punto de vista de su vecino, hay un ángulo formado por su línea de visión hacia el amigo y su línea de visión hacia el maestro. Eso se llama ángulo inscrito. Un ángulo inscrito es un ángulo formado por tres puntos a lo largo de la circunferencia de un círculo.
El Teorema del ángulo central explica la relación entre el tamaño del ángulo central, formado por usted, y el ángulo inscrito, formado por su vecino. La Teorema del ángulo central Establece que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito. (Esto supone que está utilizando los mismos puntos finales. Ambos miran al maestro y al amigo, no a nadie más).
Aquí hay otra forma de escribirlo. Llamemos al asiento de tu amigo A, el asiento de tu maestro B y el asiento de tu vecino C. Tú, en el centro, puedes ser O.
Entonces, para tres puntos A, B y C a lo largo de la circunferencia de un círculo y el punto O en el centro, el ángulo central ∠AOC es el doble del ángulo inscrito ∠ABC.
Es decir, ∠AOC = 2∠ABC.
Esto tiene sentido. Estás más cerca del amigo y del maestro, por lo que para ti se ven más separados (un ángulo más amplio). Para su vecino del otro lado del estadio, se ven mucho más juntos (un ángulo más pequeño).
Excepción al teorema del ángulo central
Ahora, cambiemos las cosas. ¡Tu vecino del otro lado de la arena comienza a moverse! Todavía tienen una línea de visión con el amigo y el maestro, pero las líneas y los ángulos siguen cambiando a medida que el vecino se mueve. Adivina qué: mientras el vecino permanezca fuera del arco entre el amigo y el vecino, ¡el teorema del ángulo central seguirá siendo válido!
Pero que pasa cuando el vecino se mueve Entre el amigo y el maestro? Ahora tu vecino está dentro del arco menor, la distancia relativamente pequeña entre el amigo y el maestro en comparación con la distancia más grande alrededor del resto de la arena. Entonces llega a una excepción al teorema del ángulo central.
La excepción al teorema del ángulo central establece que cuando el punto C, el vecino, está dentro del arco menor, el ángulo inscrito es el suplemento de la mitad del ángulo central. (Recuerde que un ángulo y su suplemento agregar a 180 grados.)
Entonces: ángulo inscrito = 180 - (ángulo central ÷ 2)
O: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualizar
Math Open Reference tiene una herramienta para visualizar el teorema del ángulo central y su excepción. Puedes arrastrar al "vecino" a todas las diferentes partes del círculo y ver cómo cambian los ángulos. ¡Pruébelo si desea una práctica visual o adicional!
