Las funciones matemáticas son herramientas poderosas para los negocios, la ingeniería y las ciencias porque pueden actuar como modelos en miniatura de fenómenos del mundo real. Para comprender las funciones y las relaciones, es necesario profundizar un poco en conceptos como conjuntos, pares ordenados y relaciones. Una función es un tipo especial de relación que tiene solo unayvalor para un dadoXvalor. Existen otros tipos de relaciones que parecen funciones pero que no cumplen con la definición estricta de una.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Una relación es un conjunto de números organizados en pares. Una función es un tipo especial de relación que tiene solo unayvalor para un dadoXvalor.
Conjuntos, pares ordenados y relaciones
Para describir relaciones y funciones, es útil analizar primero conjuntos y pares ordenados. En resumen, un conjunto de números es una colección de ellos, que normalmente se encuentran entre llaves, como {15,1, 2/3} o {0, .22}. Normalmente, define un conjunto con una regla, como todos los números pares entre 2 y 10, inclusive: {2,4,6,8,10}.
Un conjunto puede tener cualquier número de elementos, o ninguno, es decir, el conjunto nulo {}. Un par ordenado es un grupo de dos números entre paréntesis, como (0,1) y (45, −2). Por conveniencia, puede llamar al primer valor de un par ordenado elXvalor, y el segundo elyvalor. Una relación organiza pares ordenados en un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} es una relación. Puede trazar elXyyvalores de una relación en un gráfico usando elXyyejes.
Relaciones y funciones
Una función es una relación en la que cualquierXEl valor tiene solo uno correspondienteyvalor. Podrías pensar que con pares ordenados, cadaXtiene solo unoyvalor de todos modos. Sin embargo, en el ejemplo de una relación dada anteriormente, tenga en cuenta que elXlos valores 1 y 2 tienen cada uno dosyvalores, 0 y 5, y 10 y 15, respectivamente. Esta relación no es una función. La regla le da a la relación de función un carácter definitivo que de otra manera no existe, en términos deXvalores. Podrías preguntar, cuandoXes 1, ¿cuál es ely¿valor? Para la relación anterior, la pregunta no tiene una respuesta definida; podría ser 0, 5 o ambos.
Ahora examine un ejemplo de una relación que es una función verdadera: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. LaXlos valores no se repiten en ninguna parte. Como otro ejemplo, mire {(−1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Algunosylos valores se repiten, pero esto no infringe la regla. Todavía puedes decir que cuando el valor deXes 0,yes definitivamente 5.
Funciones gráficas: prueba de línea vertical
Puede saber si una relación es una función trazando los números en una gráfica y aplicando la prueba de la línea vertical. Si ninguna línea vertical que atraviese el gráfico lo cruza en más de un punto, la relación es una función.
Funciones como ecuaciones
Escribir un conjunto de pares ordenados como función es un ejemplo sencillo, pero rápidamente se vuelve tedioso cuando tienes más de unos pocos números. Para abordar este problema, los matemáticos escriben funciones en términos de ecuaciones, como
y = x ^ 2 - 2x + 3
Con esta ecuación compacta, puede generar tantos pares ordenados como desee: Ingrese diferentes valores paraX, haz los cálculos y saldrá tuyvalores.
Usos de funciones en el mundo real
Muchas funciones sirven como modelos matemáticos, lo que permite a las personas captar detalles de fenómenos que de otro modo permanecerían misteriosos. Para tomar un ejemplo simple, la ecuación de distancia para un objeto que cae es
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
dóndetes el tiempo en segundos, ygramoes la aceleración debida a la gravedad. Conecte 9,8 para la gravedad de la tierra en metros por segundo al cuadrado, y podrá encontrar la distancia que cayó un objeto en cualquier valor de tiempo. Tenga en cuenta que, a pesar de su utilidad, los modelos tienen limitaciones. La ecuación de ejemplo funciona bien para dejar caer una bola de acero pero no una pluma porque el aire hace que la pluma se ralentice.